Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=15，點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于點(diǎn)E，且tan∠α=，有以下的結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)CD=9時(shí)，△ACD與△DBE全等；③△BDE為直角三角形時(shí)，BD為12或；④0＜BE≤，其中正確的結(jié)論是 （填入正確結(jié)論的序號(hào)）.

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD；
故①錯(cuò)誤；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，
∴，
∴，
∴cosα=，
∵AB=AC=15，
∴BG=12，
∴BC=24，
∵CD=9，
∴BD=15，
∴AC=BD．
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，
∴∠EDB=∠DAC，
在△ACD與△DBE中，
，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正確；
③當(dāng)∠BED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠BED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，
∴
∴BD=12．
當(dāng)∠BDE=90°時(shí)，易證△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠C=α且cosα=，AC=15，
∴cosC=，
∴CD=．
∵BC=24，
∴BD=24﹣=
即當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD=12或．
故③正確；
④易證得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，
設(shè)CD=y，BE=x，
∴，
∴，
整理得：y2﹣24y+144=144﹣15x，
即（y﹣12）2=144﹣15x，
∴0＜x≤，
∴0＜BE≤．
故④錯(cuò)誤．
故正確的結(jié)論為：②③．
故答案為：②③．

①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；
②由CD=9，則BD=15，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；
③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；
④依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．