Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系XOY中，菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上，點(diǎn)B，C在第一象限，∠C=120°，邊長OA=8，點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正半軸以每秒1個(gè)單位長的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從A出發(fā)沿邊AB—BC—CO以每秒2個(gè)單位長的速度作勻速運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)M作直線MP垂直于x軸并交折線OCB于P，交對角線OB于Q，點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，分別沿各自路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，M和N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求線段PQ的長；

（2）求t為何值時(shí)，點(diǎn)P與N重合；

（3）設(shè)△APN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）PQ=；（2）t=秒時(shí)，點(diǎn)P與N重合；（3）S與t的函數(shù)關(guān)系式為：.

【解析】（1）解直角三角形求出PM，QM即可解決問題；

（2）根據(jù)點(diǎn)P、N的路程之和=24，構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）分四種情形考慮問題即可解決問題.

（1）在菱形OABC中，∠AOC=60°，∠AOQ=30°，

當(dāng)t=2時(shí)，OM=2，PM=2，QM=，PQ=.

（2）當(dāng)t≤4時(shí)，AN=PO=2OM=2t，

t=4時(shí)，P到達(dá)C點(diǎn)，N到達(dá)B點(diǎn)，點(diǎn)P，N在邊BC上相遇.

設(shè)t秒時(shí)，點(diǎn)P與N重合，則(t-4)+2(t-4)=8,

∴t=.

即t=秒時(shí)，點(diǎn)P與N重合.

（3）①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，PN=OA=8，且PN∥OA，PM=t，

S△APN=·8·t=4t；

②當(dāng)4＜t≤時(shí)，PN=8-3(t-4)=20-3t，

S△APN=×4×(20-3t)=40-6t；

③當(dāng)＜t≤8時(shí)，PN=3(t-4)-8=3t-20，

S△APN=×4×(3t-20)= 6t -4；

④8＜t≤12時(shí)，ON=24-2t，N到OM距離為12-t,

N到CP距離為4-(12-t)= t-8，CP=t-4，BP=12-t，

S△APN=S菱形-S△AON- S△CPN- S△APB

=32-×8×(12-t)- （t-4）（t-8）-（12-t）×4

= - t2+12t-56

綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：