Question

【題目】如圖，在四邊形是邊長為4的正方形點P為OA邊上任意一點（與點不重合），連接CP，過點P作，且，過點M作，交于點聯(lián)結(jié)，設(shè).

（1）當(dāng)時，點的坐標(biāo)為（ ， ）

（2）設(shè)，求出與的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域。

（3）在軸正半軸上存在點，使得是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合條件的點的坐標(biāo)（用的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）點的坐標(biāo)為；（2）；（3），

，，

【解析】

（1）過點作，由“”可證，可得，，即可求點坐標(biāo)；

（2）由（1）可知,設(shè)OP=x，則可得M點坐標(biāo)為（4+x，x），由直線OB解析式可得N（x，x），即可知MN=4，由一組對邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是平行四邊形，進而可求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）首先畫出符合要求的點的圖形，共分三種情況，第一種情況：當(dāng)為底邊時，第二種情況：當(dāng)M為頂點為腰時，第三種情況：當(dāng)N為頂點為腰時，然后根據(jù)圖形特征結(jié)合勾股定理求出各種情況點的坐標(biāo)即可解答．

解：（1）如圖，過點作，

，且

，且，

，

點坐標(biāo)為

故答案為：

（2）由（1）可知

，

點坐標(biāo)為

四邊形是邊長為4的正方形，

點

直線的解析式為：

，交于點，

點坐標(biāo)為

，且

四邊形是平行四邊形

（3）在軸正半軸上存在點，使得是等腰三角形，

此時點的坐標(biāo)為：，，，，，，其中，

理由：當(dāng)（2）可知，，，軸，所以共分為以下幾種請：

第一種情況：當(dāng)為底邊時，作的垂直平分線，與軸的交點為，如圖2所示

，

，

第二種情況：如圖3所示，

當(dāng)M為頂點為腰時，以為圓心，的長為半徑畫弧交軸于點、，連接、，

則，

，

，

，，

，

，

，；

第三種情況，當(dāng)以N為頂點、為腰時，以為圓心，長為半徑畫圓弧交軸正半軸于點，

當(dāng)時，如圖4所示，

則，

，

即，．

當(dāng)時，

則，此時點與點重合，舍去；

當(dāng)時，如圖5，以為圓心，為半徑畫弧，與軸的交點為，．

的坐標(biāo)為：，．

，

，

所以，綜上所述，，，，，，，使是等腰三角形．