Question

【題目】（本題滿分10分）如圖， 是⊙的直徑， 為⊙的弦，過(guò)點(diǎn)作⊥，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．點(diǎn)在上，且．

（1）求證：直線是⊙的切線；

（2）若， ，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）7

【解析】試題分析：（1）連結(jié)OB．由等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°結(jié)論可得；

（2）連結(jié)DB．由AD是⊙O的直徑，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，即可得到結(jié)果．

試題解析：（1）連結(jié)OB．

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，

又∵BC=PC，

∴∠P=∠CBP，

∵OP⊥AD，

∴∠A+∠P=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，

∵點(diǎn)B在⊙O上，

∴直線BC是⊙O的切線，

（2）如圖，連結(jié)DB．

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴Rt△ABD∽R(shí)t△AOP，

∴，即，AP=9，

∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．