Question

【題目】如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．
（2）如圖，連接ED，根據(jù)（1）中AC∥OD和菱形的判定與性質(zhì)得到四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積．

（1）證明：∵⊙O切BC于D，

∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC∥OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∴∠OAD＝∠CAD，

即AD平分∠CAB；

（2）設(shè)EO與AD交于點M，連接ED．

∵∠BAC＝60°，OA＝OE，

∴△AEO是等邊三角形，

∴AE＝OA，∠AOE＝60°，

∴AE＝AO＝OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，

∴S△AEM＝S△DMO，

∴S陰影＝S扇形EOD＝＝π．