Question

在邊長為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，如圖①，E是半圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）當(dāng)DE=10時(shí)，求證：DE與圓O相切；
（2）求DE的最長距離和最短距離；
（3）如圖②，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)DE=10時(shí)，試求直線DE的解析式．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，從可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到與B點(diǎn)重合的位置時(shí)，如圖2，DE為正方形ABCD的對角線，所以此時(shí)DE最長，利用勾股定理求得DE，證明當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到線段OD與半圓O的交點(diǎn)處時(shí)，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；如圖4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點(diǎn)G，H，連接OE．則四邊形AFEG是矩形，且DE為圓O的切線，求證△OFE∽△DGE，利用其對應(yīng)邊成比例，設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可．

解答：證明：（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，
DE=DA=10，OA=OE=

1

2

AB=5，OD為公共邊
∴△AOD≌△EOD（SSS）
∴∠OED=∠OAD=90°
∴OE⊥DE，
∴DE與圓O相切．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到與B點(diǎn)重合的位置時(shí)，如圖2，DE為正方形ABCD的對角線，所以此時(shí)DE最長，
有：DE=

AD2+AB2

=10

2

，
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到線段OD與半圓O的交點(diǎn)處時(shí)，DE最短．

證明如下：
在半圓O上任取一個(gè)不與點(diǎn)E重合的點(diǎn)E′，連接OE′，DE′．如圖3，
在△ODE′中，∵OE′+DE′＞OD即：OE′+DE′＞OE+DE，
∵OE′=OE，
∴DE′＞DE
∵點(diǎn)E′是任意一個(gè)不與點(diǎn)E重合的點(diǎn)，∴此時(shí)DE最短．
∴DE=OD-OE=

AD2+AO2

-OE=

102+52

-5=5

5

-5，

（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；如圖4，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點(diǎn)G，H，連接OE．
則四邊形AFEG是矩形，
連接OD，
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠OED=90°，
∴DE為圓O的切線
∴∠FEG=∠OED=90°
∴∠FEO=∠GED，
又∵∠OFE=∠DGE=90°
∴△OFE∽△DGE
∴

OF

DG

=

EF

EG

=

OE

DE

，
設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n
得：

5-n

10-m

=

m

10-n

=

5

10

，
解得：

m=4 n=2

，即：E（4，2）
又直線DE過點(diǎn)D（10，10），設(shè)直線DE解析式為y=kx+b，則有：

4k+b=2 10k+b=10

，
解得：

k= 4 3 b=- 10 3

，即：y=

4

3

x-

10

3

∴當(dāng)DE=10時(shí)，直線DE的解析式為y=

4

3

x-

10

3

；
以下兩種解法涉及高中知識，僅供參考：
另解2：
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，tan∠ADO=

1

2

，tan∠ADE=tan2∠ADO=

2tan∠ADO

1-(tan∠ADO)2

=

4

3

設(shè)直線y=

4

3

x+b且經(jīng)過點(diǎn)（10，10），代入求得b=-

10

3

所以直線DE的解析式為y=

4

3

x-

10

3

；
另解3：
依題意得：點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b
由點(diǎn)到直線的距離公式得：l=

b-5

k2+1

=5，即（b-5）²=25（k²+1）①
直線DE過點(diǎn)D（10，10），得10=10k+b②
由①②解得：75k²-100k=0，解得k=0，k=

4

3

所以直線DE的解析式為：為y=

4

3

x-

10

3

．

點(diǎn)評：此題涉及到的知識點(diǎn)較多，有相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，是一道很典型的題目．