【題目】如圖,拋物線y=mx+2mx-3m(m≠0)的頂點(diǎn)為H,與軸交于A、B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)H、B關(guān)于直線l:對(duì)稱(chēng),過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn).
(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)A在直線I上。
(2)求此拋物線的解析式;
(3)將此拋物線向上平移,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)K點(diǎn)時(shí),設(shè)頂點(diǎn)為N,求出NK的長(zhǎng).
【答案】(1) A(-3,0) B(1,0) ; (2)y=-x-x+; (3)NK=4
【解析】
(1)令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程,即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo);然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線l的解析式,計(jì)算即可證明點(diǎn)A在直線上;
(2)根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AH=AB,根據(jù)直線l的解析式求出直線l與x軸的夾角為30°,然后得到∠HAB的度數(shù)是60°,過(guò)點(diǎn)H作HC⊥x軸于點(diǎn)C,然后解直角三角形求出AC、HC,從而得到OC的長(zhǎng)度,然后寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo),再把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出m的值,即可得解;
(3)根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BK的解析式的k值,然后利用待定系數(shù)法求出直線BK的解析式,與直線l的解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)K的值,再利用拋物線解析式求出相應(yīng)橫坐標(biāo)上的點(diǎn),從而求出拋物線向上移動(dòng)的距離,然后得到平移后的拋物線的頂點(diǎn)N的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得到NK的值.
令y=0,則mx2+2mx-3m=0(m≠0),
解得x1=-3,x2=1,
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè),
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),
證明:∵直線l:
當(dāng)x=-3時(shí),
∴點(diǎn)A在直線l上;
(2)∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l:對(duì)稱(chēng),
∴AH=AB=4,
設(shè)直線l與x軸的夾角為α,則
所以,∠α=30°,
∴∠HAB=60°,
過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn),
則
∴頂點(diǎn)H
代入拋物線解析式,得
解得m=-
所以,拋物線解析式為
(3)∵BK∥AH
∴直線BK的k=tan60°=
設(shè)直線BK的解析式為y= x+b,
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),
∴+b=0,
解得b=-,
∴直線BK的解析式為y=x-
聯(lián)立
解得
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為(3,2 ),
當(dāng)x=3時(shí),
∴平移后與點(diǎn)K重合的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-6 ),
平移距離為2-(-6)=8,
∵平移前頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),
2+8=10,
∴平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)N(-1,10),
所以,NK的長(zhǎng)是4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將矩形如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn),且,的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且.
(1)設(shè),,求與的函數(shù)關(guān)系(不求的取值范圍);
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求直線的解析式;
(3)在(2)的條件下,平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使得以,,,為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意,完成本題的解答:
(Ⅰ)解不等式①,得______;
(Ⅱ)解不等式②,得______;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái):
(Ⅳ)原不等式組的解集為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō):“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,改變它的形式,變換它的結(jié)構(gòu),直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西,這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則.”
閱讀下列兩則材料,回答問(wèn)題
材料一:平方運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算是互逆運(yùn)算,如:a2±2ab+b2=(a±b)2,那么=|a±b|,那么如何將雙重二次根式(a>0,b>0,a±2>0)化簡(jiǎn)呢?如能找到兩個(gè)數(shù)m,n(m>0,n>0),使得(2+()2=a即m+n=a,且使即mn=b,那么a±2=()2+()2±2=(2
∴==|,雙重二次根式得以化簡(jiǎn).
例如化簡(jiǎn):.∵3=1+2且2=1×2,∴3+2=()2+()2+2,
∴==1+.
材料二:在直角坐標(biāo)系xoy中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y)和Q(x,y′)出如下定義:若y′=,則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”例如,點(diǎn)(3,2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3,2),點(diǎn)(﹣2,5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2,﹣5)
問(wèn)題:
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)(﹣3,﹣2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為 ;化簡(jiǎn)= ;
(2)點(diǎn)M為一次函數(shù)y=﹣x+1圖象上的點(diǎn),M′為點(diǎn)M的橫負(fù)縱變點(diǎn),已知N(1,1),若M′N=,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)已知b為常數(shù)且1≤b≤2,點(diǎn)P在函數(shù)y=﹣x2+16(+)(﹣7≤x≤a)的圖象上,其“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣32<y′≤32,若a為偶數(shù),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,四邊形是矩形,,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn) (不與重合),點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),連接交于點(diǎn).設(shè),已知與之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.
(1)求圖②中與的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求證:;
(3)是否存在的值,使得是等腰三角形?如果存在,求出的值;如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2的圖象(記為拋物線C1)頂點(diǎn)為M,直線l:y=2x﹣a與x軸,y軸分別交于A,B.
(1)對(duì)于拋物線C1,以下結(jié)論正確的是 ;
①對(duì)稱(chēng)軸是:直線x=1;②頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,﹣a﹣2);③拋物線一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).
(2)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)△ABM的面積為S,求S與a的函數(shù)關(guān)系;
(3)將二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2的圖象C1繞點(diǎn)P(t,﹣2)旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)的圖象(記為拋物線C2),頂點(diǎn)為N.
①當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí),旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)二次函數(shù)y的值都會(huì)隨x的增大而減小,求t的取值范圍;
②當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)Q是拋物線C1上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線C2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q',試探究四邊形QMQ'N能否為正方形?若能,求出t的值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】不覽夜景,未到重慶山城夜景,早在清乾隆時(shí)期就已有名氣,被時(shí)任巴縣知縣王爾鑒,列為巴渝十二景之一在朝天門(mén)碼頭坐船游兩江(即長(zhǎng)江、嘉陵江),是游重慶賞夜景的一個(gè)經(jīng)典項(xiàng)目.一艘輪船從朝天門(mén)碼頭出發(fā)勻速行駛,小時(shí)后一快艇也從朝天門(mén)碼頭出發(fā)沿同一線路勻速行駛,當(dāng)快艇先到達(dá)目的地后立刻按原速返回并在途中與輪船第二次相遇.設(shè)輪船行駛的時(shí)間為,快艇和輪船之間的距離為,與的函數(shù)關(guān)系式如圖所示,則快艇與輪船第二次相遇時(shí)到朝天門(mén)碼頭的距離為_____千米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)DE的高度,他們?cè)谶@棵樹(shù)的正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30°,朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處,測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為60°.已知A點(diǎn)的高度AB為3米,臺(tái)階AC的坡度為1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上.請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校九年級(jí)體自模擬測(cè)試后,隨機(jī)抽取了九年級(jí)部分學(xué)生體有測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到相關(guān)的統(tǒng)計(jì)圖表如下:
成績(jī)/分 | 以下 | |||
成績(jī)等級(jí) |
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)這次統(tǒng)計(jì)共抽取了 名學(xué)生的體育測(cè)試成績(jī),補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖
(2)扇形的圓心角的度數(shù)是
(3)若該校九年級(jí)有名學(xué)生,請(qǐng)據(jù)此估計(jì)該校九年級(jí)此次體育測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>等級(jí)以上(含等級(jí))的學(xué)生有多少人?
(4)根據(jù)測(cè)試中存在的問(wèn)題,通過(guò)一段時(shí)間的針對(duì)性調(diào)練,若等級(jí)學(xué)生數(shù)可提高等級(jí)學(xué)生數(shù)可提高,請(qǐng)估計(jì)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后九年級(jí)體育測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>等級(jí)以上(含等級(jí))的學(xué)生可達(dá)多少人?
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