【題目】如圖,直線l:y=﹣m與y軸交于點(diǎn)A,直線a:y=x+m與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=x2+mx的頂點(diǎn)為C,且與x軸左交點(diǎn)為D(其中m>0).
(1)當(dāng)AB=12時,在拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長最。
(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時,求點(diǎn)C到直線l距離的最大值;
(3)若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”.當(dāng)m=2020時,求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個數(shù).
【答案】(1)△BOP的周長的最小值為6+6;(2)當(dāng)m=2時,點(diǎn)C到直線l距離最大,最大值為1;(3)4042個.
【解析】
(1)由已知分別求出,,,;連接BD與對稱軸的交點(diǎn)即為P;求出BD的值即可求的周長的最小值;
(2)點(diǎn)C到直線l距離為,當(dāng)時,該距離有最大值;
(3)分別求出,,,,時滿足條件的“整數(shù)點(diǎn)”的個數(shù),找到規(guī)律,由此推理出時,“整數(shù)點(diǎn)”的個數(shù).
解:由已知可得A(0,﹣m),B(0,m),
∵y=x2+mx的頂點(diǎn)為C,
∴C(﹣,﹣),
∵y=x2+mx與x軸交點(diǎn)為(0,0),(﹣m,0),
∴D(﹣m,0);
(1)∵AB=12,
∴m=6,
∴D(﹣6,0),B(0,6),
∵拋物線的對稱軸為x=﹣,
∴D與O關(guān)于x=﹣,
連接BD與對稱軸的交點(diǎn)即為P;
∵DP=OP,
∴△BOP的周長=BO+BP+PO=BO+BP+PD=BO+BD;
∵BD=6,OB=6,
∴△BOP的周長的最小值為6+6;
(2)∵點(diǎn)C在直線l上方,
∴點(diǎn)C到直線l距離為﹣﹣(﹣m)=﹣+m=﹣(m﹣2)2+1,
當(dāng)m=2時,點(diǎn)C到直線l距離最大,最大值為1;
(3)當(dāng)n=1時,y=x+1與y=x2+x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有4個,
當(dāng)n=2時,y=x+2與y=x2+2x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有6個,
當(dāng)n=3時,y=x+3與y=x2+3x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有8個,
當(dāng)n=4時,y=x+4與y=x2+4x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有10個,
……
當(dāng)n=2020時,y=x+2020與y=x2+2020x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”有4042個.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年中國北京世園會開園期間,為了滿足不同人群的游覽需求,組委會傾情打造了四條趣玩路線,分別是“解密世園會”、“愛我家,愛園藝”、“園藝小清新之旅”和“快速車覽之旅”小明一家想通過抽簽的方法選擇其中的兩條路線進(jìn)行游玩,于是他們制作了如下四張卡片,然后從四張卡片中隨機(jī)抽取其中的兩張若小明最鐘愛的游玩路線是“園藝小清新之旅",小明的爸爸和媽媽最鐘愛的游玩路線是“解密世園會”,請用列表法或畫樹狀圖法求出:他們同時抽中“園藝小清新之旅”和“解密世園會”的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市自從去年九月實(shí)施初中新課程改革以來,初中學(xué)生在課堂上的“自主學(xué)習(xí)、合作交流”能力有了很大提高,何老師為了解所教班級學(xué)生情況,抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分成四類::特別好;:較好;:一般;:較差,且將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量為_____________;
(2)求“特別好”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù),并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)為了共同進(jìn)步,何老師向從被調(diào)查的類和類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請用列表法或樹狀圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好都是女同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點(diǎn),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā),且它們的速度都是1cm/s
(1)設(shè)運(yùn)動時間是t,則當(dāng)t=__________s時,△PBQ是直角三角形.
(2)連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P、Q運(yùn)動的過程中,∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù);
(3)如圖(2),若P,Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動,直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(﹣9,0)、B(﹣3,0)、C(0,4).若某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段CD的中點(diǎn),則其解析式為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以(1,0)為圓心的⊙P與y軸相切于原點(diǎn)O,過點(diǎn)A(-1,0)的直線AB與⊙P相切于點(diǎn)B.
(1)求AB的長.
(2)求AB、OA與所圍成的陰影部分面積.
(3)求直線AB的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的對稱軸是直線,與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)為拋物線上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)求拋物線解析式;
(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi),當(dāng)時,求四邊形的面積;
(3)將繞平面直角坐標(biāo)系中某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),對應(yīng)點(diǎn)為,,,當(dāng)中有兩個頂點(diǎn)落在拋物線上時,直接寫出的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M在拋物線上,且S△AOM=2S△BOC,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動點(diǎn),作DN⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DN長度的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與x軸的另一個交點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn),連接OP交直線AB于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;
(3)點(diǎn)D是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn),連接OD、CD,設(shè)△ODC外接圓的圓心為M,當(dāng)sin∠ODC的值最大時,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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