【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)中,邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AB邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí),求點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng);
(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)MN和AC平行時(shí),求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(3)設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中,p值是否有變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)解:∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),

∴OA旋轉(zhuǎn)了45°,

∴點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為 =


(2)解:∵四邊形OABC是正方形,

∴∠BAC=∠BCA=45°,

當(dāng)MN∥AC時(shí),∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45°,

∴∠BMN=∠BNM,

∴BM=BN,

∵BA=BC,

∴AM=CN,

∵OA=OC,∠OAM=∠OCN,

∴△OAM≌△OCN,

∴∠AOM=∠CON,

∵∠MON=45°,

∴∠AOM= (90°﹣45°)=22.5°,

∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)MN∥AC時(shí),正方形OABC旋轉(zhuǎn)的角度為45°﹣22.5°=22.5°


(3)解:P值無(wú)變化.延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn),

則∠AOE=45°﹣∠AOM,∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM.

∴∠AOE=∠CON,

∵OA=OC,∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN,

∴△OAE≌△OCN,

∴OE=ON,AE=CN,

∵∠MOE=∠MON=45°,OM=OM,

∴△OME≌△OMN,

∴MN=ME=AM+AE,

∴MN=AM+CN,

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BM=AB+BC=4,

∴正方形OABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,P值無(wú)變化.


【解析】(1)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線是一段弧,根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓心角的度數(shù)及半徑即可求解。
(2)根據(jù)已知條件易證得△OAM≌△OCN,得出∠AOM=∠CON,即可求出∠MON、∠AOM的度數(shù)。
(3)P值無(wú)變化.延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn),先證明△OME≌△OMN,證得OM=OM,再證明△OME≌△OMN,得出MN=ME=AM+AE,即得MN=AM+CN,即可得到p的值。

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,則點(diǎn)與點(diǎn)非常距離;

,則點(diǎn)與點(diǎn)非常距離

例如:點(diǎn),點(diǎn),因?yàn)?/span>,所以點(diǎn)與點(diǎn)非常距離,也就是圖1中線段與線段長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線的交點(diǎn)).

(1)已知點(diǎn),軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

若點(diǎn)(0,3),則點(diǎn)與點(diǎn)非常距離  

若點(diǎn)與點(diǎn)非常距離2,則點(diǎn)的坐標(biāo)為  

直接寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)非常距離的最小值為   ;

(2)已知點(diǎn)(0,1),點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如圖2,求點(diǎn)與點(diǎn)非常距離的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

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