【題目】如圖1,在菱形ABCD中,AB=5,tan∠ABC=,點E從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動,設運動時間為t(秒),將線段CE繞點C順時針旋轉一個角α(α=∠BCD),得到對應線段CF.
(1)求證:BE=DF;
(2)當t=___秒時,DF的長度有最小值,最小值等于___;
(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q,當t為何值時,△EPQ是直角三角形?
(4)在點E的運動過程中,是否存在到直線AD的距離為1的點F,若存在直接寫出 t的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) 8, 4;(3)當t=3或5時,△EPQ是直角三角形;(4)存在, t =或
【解析】
(1)由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE,結合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得; (2)當點E運動至點E′,時,由DF=BE′知此時DF最小,求得BE′、AE′即可得答案;
(3)①∠EQP=90°時,由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°,根據AB=CD=5 ,tan∠ABC=tan∠ADC=,即可求得DE;
②∠EPQ=90°時,由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合,可得DE ;
(4)當在的上方時,如圖3,把繞C順時針旋轉得,連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FH⊥AD于點H,證△DCE≌△GCF,可得∠3=∠4=∠1=∠2,即GF∥CD,從而知四邊形CDMN是平行四邊形,由平行四邊形得MN=CD;再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD,根據tan∠ABC=tan∠CGN=,可得GM,由GF=DE=t可得FM, 利用tan∠FMH=tan∠ABC= ,即可得的值.同理可得:當在的下方時的值,
解:(1)∵∠ECF=∠BCD,即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE,
∴∠DCF=∠BCE,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴DC=BC,
在△DCF和△BCE中,
∵
∴△DCF≌△BCE(SAS),
∴DF=BE;
(2)如圖1, 當點E運動至點E′,時,DF=BE′,此時DF最小,
在Rt△ABE′中,AB=5 ,tan∠ABC=tan∠BAE′=,
∴設AE′=x,則BE′=,
∴AB==,
則AE′=
∴DE′=DF=BE′=
故答案為: ;
(3)∵CE=CF, ∴∠CEQ<90°,
①當∠EQP=90°時,如圖2①, ∵∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,
∴∠CBD=∠CEF,
∵∠BPC=∠EPQ,
∴∠BCP=∠EQP=90°,
∵AB=CD=5,tan∠ABC=tan∠ADC=,
由(1)得:菱形的高:
,
∴DE=3,
∴t=3秒;
②當∠EPQ=90°時,如圖2②, ∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD,
∴EC與AC重合,
∴DE=5,
∴t=5秒;
綜上:當t=3或5時,△EPQ是直角三角形;
(4)存在.或
理由如下:
當在的上方時,如圖3,把繞C順時針旋轉得,
連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FH⊥AD于點H,
由(1)知∠1=∠2,
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF,
∴∠DCE=∠GCF,
在△DCE和△GCF中,
∵
∴△DCE≌△GCF(SAS),
∴∠3=∠4, ∵∠1=∠3,∠1=∠2,
∴∠2=∠4, ∴GF∥CD,
又∵AH∥BN,
∴四邊形CDMN是平行四邊形,
∴MN=CD=,
∵∠BCD=∠DCG,
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG,
∴GC=CN=CD=5,
∵tan∠ABC=tan∠CGN=,
∴GN=6,
∴GM=11,
∵GF=DE=t,
∴FM=t-11,
∵tan∠FMH=tan∠ABC=,
∴.
當在的下方時,如圖3,把繞C順時針旋轉得,
連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FH⊥AD于點H,
同理可得:四邊形CDMN是平行四邊形,
由
,
綜上:點E的運動過程中,存在到直線AD的距離為1的點F,此時,或
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【題目】商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為80元,用180元購進甲種玩具的件數與用300元購進乙種玩具的件數相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元?
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共32件,其中甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數,商場決定此次進貨的總資金不超過1350元,求商場共有幾種進貨方案?
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【題目】材料閱讀:
類比是數學中常用的數學思想.比如,我們可以類比多位數的加、減、乘、除的豎式運算方法,得到多項式與多項式的加、減、乘、除的運算方法.
理解應用:
(1)請仿照上面的豎式方法計算:;
(2)已知兩個多項式的和為,其中一個多項式為.請用豎式的方法求出另一個多項式.
(3)已知一個長為,寬為的矩形,將它的長增加8.寬增加得到一個新矩形,且矩形的周長是周長的3倍(如圖).同時,矩形的面積和另一個一邊長為的矩形的面積相等,求的值和矩形的另一邊長.
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【題目】2020春開學為防控冠狀病毒,學生進校園必須戴口罩,測體溫,江陰初級中學開通了三條人工測體溫的通道,每周一分別由王老師、張老師、李老師三位老師給進校園的學生測體溫(每個通道一位老師),周一有小衛(wèi)和小孫兩學生進校園,在3個人工測體溫通道中,可隨機選擇其中的一個通過.
(1) 求小孫進校園時,由王老師測體溫的概率;
(2)求兩學生進校園時,都是王老師測體溫的概率.
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【題目】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),在同一條公路上,勻速行駛,相向而行,到兩車相遇時停止.甲車行駛一段時間后,因故停車0.5小時,故障解除后,繼續(xù)以原速向B地行駛,兩車之間的路程y(千米)與出發(fā)后所用時間x(小時)之間的函數關系如圖所示.
(1)求甲、乙兩車行駛的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲車沒有故障停車,求可以提前多長時間兩車相遇.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC交于點D,E,過點D作DF⊥AC,垂足為點F.
(1)求證:直線DF是⊙O的切線;
(2)求證:BC2=4CFAC;
(3)若⊙O的半徑為4,∠CDF=15°,求陰影部分的面積.
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【題目】在“停課不停學”期間,小明用電腦在線上課,圖1是他的電腦液晶顯示器的側面圖,顯示屏AB可以繞O點旋轉一定角度.研究表明:當眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上,且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角(即望向屏幕中心P的的視線EP與水平線EA的夾角∠AEP)時,對保護眼睛比較好,而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時(如圖2)時,觀看屏幕最舒適,此時測得∠BCD=30°,∠APE=90°,液晶顯示屏的寬AB為32cm.
(1)求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE;(結果精確到1cm)
(2)求顯示屏頂端A與底座C的距離AC.(結果精確到1cm)(參考數據:sin18°≈0.3,cos18°≈0.9,tan18°≈0.3,≈1.4,≈1.7)
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【題目】《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著,與古希臘的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中,不知大。凿忎徶,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”小輝同學根據原文題意,畫出圓材截面圖如圖所示,已知:鋸口深為 1寸,鋸道AB=1尺(1尺=10寸),則該圓材的直徑為( )
A.13B.24C.26D.28
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