【題目】等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm,點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動(dòng),已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng),Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng),PQ與直線AC相交于點(diǎn)D.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△PCQ的面積為S.
(1)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí),S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長度是否改變?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)S=(t<10),(t>10); (2);(3)不變,理由參見解析.
【解析】
試題由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng),Q沿BC向上運(yùn)動(dòng),且速度都為1cm/s,S=QC×PB,所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系,另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng),達(dá)到一定時(shí)間后會(huì)運(yùn)動(dòng)到右側(cè),所以一些問題可能會(huì)有兩種可能出現(xiàn)的情況,這時(shí)我們應(yīng)分類回答.
試題解析:(1)當(dāng)t<10秒時(shí),P在線段AB上,此時(shí)CQ=t,PB=10-t
∴s=×t×(10t)=(10tt2)
當(dāng)t>10秒時(shí),P在線段AB得延長線上,此時(shí)CQ=t,PB=t-10
∴s=×t×(t10)=(t210t)
(2)∵S△ABC=ABBC=50
∴當(dāng)t<10秒時(shí),S△PCQ=(10tt2)=50
整理得t2-10t+100=0無解
當(dāng)t>10秒時(shí),S△PCQ=(t210t)="50"
整理得t2-10t-100=0解得x=5±5(舍去負(fù)值)
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5+5秒時(shí),S△PCQ=S△ABC.
(3)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長度不會(huì)改變
證明:過Q作QM⊥AC,交直線AC于點(diǎn)M
易證△APE≌△QCM,
∴AE=PE=CM=QM=t,
∴四邊形PEQM是平行四邊形,且DE是對角線EM的一半
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長度不會(huì)改變
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在路燈下,小明的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段AC所示,小亮的身高如圖中線段FG所示,路燈燈泡在線段DE上.
(1)請你確定燈泡所在的位置,并畫出表示小亮在燈光下形成的影子線段.
(2)如果燈桿高12m,小亮的身高1.6m,小亮與燈桿的距離13m,請求出小亮影子的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā),沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng),經(jīng)過t秒,以點(diǎn)P為圓心,cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點(diǎn)在邊上),請寫出t可取的一切值 (單位:秒)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是弦,∠B=30°,延長BA到D,使∠BDC=30°.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)若AB=2,求DC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為8的正方形紙片ABCD沿著EF折疊,使點(diǎn)C落在AB邊的中點(diǎn)M處.點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處,MD'與AD交于點(diǎn)G,則△AMG的內(nèi)切圓半徑的長為____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:
如圖1,是的直徑,點(diǎn)在上,,垂足為,,分別交、于點(diǎn)、.求證:.
圖1 圖2
(1)本題證明的思路可用下列框圖表示:
根據(jù)上述思路,請你完整地書寫本題的證明過程.
(2)如圖2,若點(diǎn)和點(diǎn)在的兩側(cè),、的延長線交于點(diǎn),的延長線交于點(diǎn),其余條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),∠ADB=120°,∠ADC=90°,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE,連接DE.
(1)求證:AD=DE;
(2)求∠DCE的度數(shù);
(3)若BD=1,求AD,CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D,與CA的延長線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)證明:DF是⊙O的切線;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的長.
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