Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C．已知實(shí)數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求直線AB和OB的解析式．

（2）求拋物線的解析式．

（3）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．問(wèn)△BOD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= ，y=-x；（2） ；（3）△BOD的面積有最大值，最大值為 ，D（ ）.

【解析】試題分析：（1）首先解方程得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定直線AB和直線OB的解析式即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（3）利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，進(jìn)而得出最值即可．

解：（1）解方程x2-2x-3=0，

得 x1=3，x2=-1．

∵m＜n，

∴m=-1，n=3，

∴A（-1，-1），B（3，-3）．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

∴，

解得：.

∴直線AB的解析式為y=-x+；

設(shè)直線OB的解析式為y=kx，

∴3k=-3，

解得：k=-1，

∴直線OB的解析式為y=-x；

（2）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x．

（3）△BOD的面積是存在最大值；

過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過(guò)B作BH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)Q（x，-x），D（x，-x2+x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=12DQOG+12DQGH，

=DQ（OG+GH），

= [x+（-x2+x）]×3，

=-（x-）2+，

∵0＜x＜3，

∴當(dāng)x=時(shí)，S取得最x大值為，此時(shí)D（，-）．