Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，a）、B（﹣b，0），若b＝+4，C點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)．

（1）判斷△ABC的形狀并證明；

（2）P點(diǎn)在第一象限，且∠APC＝135°，試探究關(guān)于PA、PB、PC三條線段的確定數(shù)量關(guān)系；

（3）E點(diǎn)在BC上，F為線段AE的中點(diǎn)，EF繞E點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EG，E點(diǎn)從B點(diǎn)沿BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求G點(diǎn)隨E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)P在△AOC的外部時(shí)，PB﹣PC＝PA，當(dāng)點(diǎn)P在△AOC內(nèi)部時(shí)，PA2＝2PB2+PC2，證明詳見(jiàn)解析；（3）6．

【解析】

（1）如圖1中，△ABC是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的定義即可判斷．

（2）結(jié)論：：①當(dāng)點(diǎn)P在△AOC的外部時(shí)，PB﹣PC＝PA．如圖2中，作AE⊥PA交PB于E．證明△BAE≌△CAP（SAS），△AEP是等腰直角三角形即可．②當(dāng)點(diǎn)P在△AOC內(nèi)部時(shí)，如圖2﹣1中，PA2＝2PB2+PC2．

（3）如圖3中，連接AG，OG．首先證明∠EOG＝30°，推出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段（圖中線段G″G′），利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出G′G″即可．

（1）如圖1中，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

∵b＝

∴a﹣4≥0，8﹣2a≥0

∴a＝4，b＝4

∴A（0，4），B（0，﹣4）

∵B，C關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴C（4，0），

∴OA＝OB＝OC，

∵∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)P在△AOC的外部時(shí)，PB﹣PC＝PA．

理由：如圖2中，作AE⊥PA交PB于E．

∵∠APC+∠ABC＝180°，

∴A，B，C，P四點(diǎn)共圓，

∴∠APE＝∠ACB＝45°，

∵∠EAP＝90°，

∴∠AEP＝∠APE＝45°，

∴AE＝AP，

∵∠BAC＝∠EAP＝90°，

∴∠BAE＝∠CAP，

∵AB＝AC，AE＝AP，

∴△BAE≌△CAP（SAS），

∴BE＝PC，

∴PB﹣PC＝PB﹣BE＝PE＝PA．

②當(dāng)點(diǎn)P在△AOC內(nèi)部時(shí)，如圖2﹣1中，PA2＝2PB2+PC2．

理由：將△PBC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△HBA，

∵∠BHP＝45°，∠BHA＝∠BPC＝135°，

∴∠AHP＝90°，

∴PA2＝AH2+PH2，

∵PC＝AH，PH＝PB，

∴PA2＝PC2+2PB2．

（3）如圖3中，連接AG，OG．

∵EF＝EG，∠FEG＝60°，

∴△EFG是等邊三角形，

∴FG＝FE＝FA，

∴∠AGE＝90°，∠EAG＝30°，

∵∠AGE＝∠AOE＝90°，

∴A，E，G，O四點(diǎn)共圓，

∴∠EOG＝∠EAG＝30°，

∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段（圖中線段G″G′），

由題意△G′AG″是等腰直角三角形，AG′＝AG″＝2，

∴G′G″＝6．

∴當(dāng)E點(diǎn)從B點(diǎn)沿BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，G點(diǎn)隨E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為6．