Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，

解得 ，c=2，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．如圖1中，∵C（0，2），D（ ，0），

∴OC=2，OD= ，CD= =

①當(dāng)CP=CD時，可得P1（ ，4）．

②當(dāng)DC=DP時，可得P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）

綜上所述，滿足條件的P點的坐標(biāo)為 或 或

（3）

解：如圖2中，

對于拋物線y=﹣ x2+ x+2，當(dāng)y=0時，﹣ x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1

∴B（4，0），A（﹣1，0），

由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

設(shè)E 則F ，

EF= ﹣ =

∴- ＜0，∴當(dāng)m=2時，EF有最大值2，

此時E是BC中點，

∴當(dāng)E運動到BC的中點時，△EBC面積最大，

∴△EBC最大面積= ×4×EF= ×4×2=4，此時E（2，1）

【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c列方程組即可．（2）先求出CD的長，分兩種情形①當(dāng)CP=CD時，②當(dāng)DC=DP時分別求解即可．（3）求出直線BC的解析式，設(shè)E 則F ，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．