【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( , )和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
(3)求△PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵B(4,m)在直線y=x+2上,

∴m=4+2=6,

∴B(4,6),

∵A( , )、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,

,解得 ,

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6


(2)

解:設(shè)動點P的坐標(biāo)為(n,n+2),則C點的坐標(biāo)為(n,2n2﹣8n+6),

∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),

=﹣2n2+9n﹣4,

=﹣2(n﹣ 2+

∵PC>0,

∴當(dāng)n= 時,線段PC最大且為


(3)

解:∵△PAC為直角三角形,

i)若點P為直角頂點,則∠APC=90°.

由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在;

ii)若點A為直角頂點,則∠PAC=90°.

如答圖3﹣1,過點A( , )作AN⊥x軸于點N,則ON= ,AN=

過點A作AM⊥直線AB,交x軸于點M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形,

∴MN=AN= ,∴OM=ON+MN= + =3,

∴M(3,0).

設(shè)直線AM的解析式為:y=kx+b,

則: ,解得 ,

∴直線AM的解析式為:y=﹣x+3 ①

又拋物線的解析式為:y=2x2﹣8x+6 ②

聯(lián)立①②式,解得:x=3或x= (與點A重合,舍去)

∴C(3,0),即點C、M點重合.

當(dāng)x=3時,y=x+2=5,

∴P1(3,5);

iii)若點C為直角頂點,則∠ACP=90°.

∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,

∴拋物線的對稱軸為直線x=2.

如答圖3﹣2,作點A( )關(guān)于對稱軸x=2的對稱點C,

則點C在拋物線上,且C( , ).

當(dāng)x= 時,y=x+2=

∴P2 , ).

∵點P1(3,5)、P2 , )均在線段AB上,

∴綜上所述,△PAC為直角三角形時,點P的坐標(biāo)為(3,5)或( ,


【解析】(1)已知B(4,m)在直線y=x+2上,可求得m的值,拋物線圖象上的A、B兩點坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.(2)要弄清PC的長,實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差.可設(shè)出P點橫坐標(biāo),根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo),進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值.(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時,根據(jù)直角頂點的不同,有三種情形,需要分類討論,分別求解.

練習(xí)冊系列答案
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(1)判斷四邊形EFGH的形狀,并說明你的理由;

(2)連接BDAC,當(dāng)BD、AC滿足何條件時,四邊形EFGH是正方形?證明你的理由.

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【題目】某商場第一次用10000元購進(jìn)甲、乙兩種商品,銷售完成后共獲利2200元,其中甲種商品每件進(jìn)價60元,售價70元;乙種商品每件進(jìn)價50元,售價65元.

(1)求該商場購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件?

(2)商場第二次以原進(jìn)價購進(jìn)甲、乙兩種商品,且購進(jìn)甲、乙商品的數(shù)量分別與第一次相同,甲種商品按原售價出售,而乙種商品降價銷售,要使第二次購進(jìn)的兩種商品全部售出后,獲利不少于1800元,乙種商品最多可以降價多少元?

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【題目】如圖,在ABC 中,BC=6cm.射線 AGBC,點 E 從點 A 出發(fā)沿射線 AG 2cm/s 的速度運動,當(dāng)點 E 先出發(fā) 1s 后,點 F 也從點 B 出發(fā)沿射線 BC cm/s 的速度運動分別連結(jié) AF,CE.設(shè)點 F 運動時間為 t(s),其中 t>0.

(1)當(dāng) t 為何值時,∠BAF<BAC;

(2)當(dāng) t 為何值時,AE=CF;

(3)當(dāng) t 為何值時,SABF+SACE<SABC

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本次抽查了______名七年級學(xué)生;

補全條形統(tǒng)計圖;

求扇形統(tǒng)計圖中表示“C等”部分的扇形的中心角度數(shù);

結(jié)合統(tǒng)計圖,寫出兩條正確的結(jié)論.

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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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(1)乙隊單獨完成這項工程需要多少天?

(2)甲隊施工一天,需付工程款3.5萬元,乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內(nèi)完成,在不超過計劃天數(shù)的前提下,是由甲隊或乙隊單獨完成該工程省錢?還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢?

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AF=CF;AE=CF;③∠BAE=FCD;④∠BEA=FCE。

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(1)乙車的速度是________千米/小時,B、C兩地的距離是________千米, A、C兩地的距離是________千米;

(2)求甲車的速度;

(3)這一天,乙車出發(fā)多長時間,兩車相距200千米?

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