Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln2（x﹣1）﹣ ﹣x+3． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當x≥1時，不等式（x+1）x+m≤exx+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ln2（x﹣1）﹣ ﹣x+3， 得f′（x）= ln（x﹣1）+ ﹣1=
= （x﹣1＞0），
令g（x）=2（x﹣1）ln（x﹣1）﹣x2+2x，
g′（x）=2ln（x﹣1）+2﹣2x+2=2ln（x﹣1）﹣2x+4，
再令t（x）=2ln（x﹣1）﹣2x+4，
t′（x）= ，當x∈（1，2）時，t′（x）＞0，t（x）為增函數(shù)，
當x∈（2，+∞）時，t′（x）＜0，t（x）為減函數(shù)，
∴t（x）max=t（2）=0，
∴g′（x）≤0，則g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
又當x→1+時，g（x）→﹣∞，
∴f′（x）＜0，
則f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
（Ⅱ）由（x+1）x+m≤exx+m恒成立，即（x+m）ln（x+1）≤1+（x+m）lnx恒成立，
∴（x+m）ln ≤1，也即x+m ，
∴m 對x≥1恒成立．
令h（x）= ，
則h′（x）= ＜0（x≥1），
∴h（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，則h（x）≤h（1）=﹣ln2﹣1，
又當x→+∞時，h（x）→﹣∞，
∴h（x）在[1，+∞）上無最小值，
則滿足m 對x≥1恒成立的m不存在．
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）= （x﹣1＞0），令g（x）=2（x﹣1）ln（x﹣1）﹣x2+2x，求導(dǎo)可得g′（x）=2ln（x﹣1）+2﹣2x+2=2ln（x﹣1）﹣2x+4，再令t（x）=2ln（x﹣1）﹣2x+4，利用導(dǎo)數(shù)求得t（x）max=t（2）=0，得g′（x）≤0，則g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，進一步說明f′（x）＜0，得到f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；（Ⅱ）由（x+1）x+m≤exx+m恒成立，即（x+m）ln（x+1）≤1+（x+m）lnx恒成立，分離參數(shù)m，可得m 對x≥1恒成立．令h（x）= ，由導(dǎo)數(shù)求其值域，可知h（x）在[1，+∞）上無最小值，則滿足m 對x≥1恒成立的m不存在．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．