Question

如圖，二次函數(shù)（其中a，m是常數(shù)，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD．過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代數(shù)式表示a；
（2）)求證：為定值；
（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，連接CF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為－3m.

解析試題分析：（1）將C點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得.
（2）令y=0求A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)，CD∥AB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，由△ADM∽△AEN,對(duì)應(yīng)邊成比例，將求的比轉(zhuǎn)化成求比，結(jié)果不含m即為定值.
（3）連接FC并延長(zhǎng)，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G..過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根據(jù)同角的同一個(gè)三角函數(shù)相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根據(jù)勾股定理逆定理判斷以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，直接得點(diǎn)G的橫坐標(biāo).
試題解析：解：（1）將C（0，-3）代入函數(shù)表達(dá)式得，，∴.
（2）證明：如答圖1，過(guò)點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N.
由解得x₁=－m，x₂=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).
∵CD∥AB，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，－3）．
∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．
∵∠DMA=∠ENA=90⁰，∴△ADM∽△AEN, ∴.
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x, ）,
∴,∴x=4m.
∴為定值.

（3）存在，
如答圖2，連接FC并延長(zhǎng)，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G.
由題意得：二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-4），
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，
在Rt△CGO和Rt△FGH中,
∵tan∠CGO＝, tan∠FGH＝, ∴=．∴OG="3m,"
由勾股定理得，GF=，AD=
∴.
由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．
∴以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為－3m.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.定值和直角三角形存在性問(wèn)題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.二次函數(shù)的性質(zhì)；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性質(zhì)；7.銳角三角函數(shù)定義.