如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,頂點(diǎn)D,C分別在射線AM,BN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與A重合,點(diǎn)C不與B重合),E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,B重合),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持DE⊥CE.
(1)求證:△ADE∽△BEC;
(2)當(dāng)點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)時(shí)(如圖2),求證:DE,CE分別平分∠ADC,∠BCD;
(3)若AD+DE=AB=a,設(shè)AE=m,請(qǐng)?zhí)骄浚骸鰾EC的周長(zhǎng)是否與m的值有關(guān)?若有關(guān)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示△BEC的周長(zhǎng);若無(wú)關(guān)請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由直角梯形ABCD中∠A為直角,得到三角形ADE為直角三角形,可得出兩銳角互余,再由DE與EC垂直,利用垂直的定義得到∠DEC為直角,利用平角的定義推出一對(duì)角互余,利用同角的余角相等可得出一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得證;
(2)過(guò)E作EF平行于BC,由AD也與BC平行,利用與平行線中的一條直線平行,與另一條也平行,得到EF平行于AD,由E為AB的中點(diǎn),利用平行線等分線段定理得到F為DC的中點(diǎn),在直角三角形DEC中,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半,得出EF=DF=CF,由EF=DF,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,再由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等,根據(jù)AD與EF平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,等量代換可得出∠ADE=∠FDE,即DE平分∠ADC;同理可得CE平分∠BCD;
(3)△BEC的周長(zhǎng)與m的值無(wú)關(guān),理由為:設(shè)AD=x,由AD+DE=a,表示出DE,再由AE=m,在直角三角形ADE中,利用勾股定理列出關(guān)系式,整理后記作①,由AB-AE=EB,表示出BE,根據(jù)(1)得到:△ADE∽△BEC,由相似得比例,將各自表示出的式子代入,表示出BC與EC,由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周長(zhǎng),提取a-m后,通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算,再利用平方差公式化簡(jiǎn)后,記作②,將①代入②,約分后得到一個(gè)不含m的式子,即周長(zhǎng)與m無(wú)關(guān).
解答:解:(1)證明:∵直角梯形ABCD中,∠A=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
又∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°,
∴∠ADE=∠BEC,又∠A=∠B=90°,
∴△ADE∽△BEC;

(2)證明:過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交CD于F,如圖2所示:
又AD∥BC,
∴EF∥AD,又E為AB的中點(diǎn),
∴F是CD的中點(diǎn),
在Rt△DEC中,EF是斜邊上的中線,
∴EF=CF=DF=
1
2
CD,
∴∠FED=∠FDE,
∵EF∥AD,
∴∠ADE=∠FED,
∴∠FDE=∠ADE,即DE平分∠ADC,
同理可得:CE平分∠BCD;

(3)△BEC的周長(zhǎng)與m的值無(wú)關(guān),理由為:
設(shè)AD=x,由AD+DE=AB=a,得:DE=a-x,又AE=m,
在Rt△AED中,根據(jù)勾股定理得:AD2+AE2=DE2,即x2+m2=(a-x)2
整理得:a2-m2=2ax,…①
在△EBC中,由AE=m,AB=a,得:BE=AB-AE=a-m,
∵由(1)知△ADE∽△BEC,
AD
BE
=
AE
BC
=
DE
EC
,即
x
a-m
=
m
BC
=
a-x
EC
,
解得:BC=
m(a-m)
x
,EC=
(a-m)(a-x)
x

∴△BEC的周長(zhǎng)=BE+BC+EC=(a-m)+
m(a-m)
x
+
(a-m)(a-x)
x

=(a-m)(1+
m
x
+
a-x
x
)=(a-m)•
x+m+a-x
x

=
(a-m)(a+m)
x
=
a2-m2
x
,…②
把①代入②得:△BEC的周長(zhǎng)=BE+BC+EC=
2ax
x
=2a,
則△BEC的周長(zhǎng)與m無(wú)關(guān).
點(diǎn)評(píng):此題屬于相似形綜合題,涉及的知識(shí)有:相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì),分式的化簡(jiǎn)求值,利用了轉(zhuǎn)化及整體代入的數(shù)學(xué)思想,做第三問(wèn)時(shí)注意利用已證的結(jié)論.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在直角梯形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC,CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△BCD的面積是( 。
A、3B、4C、5D、6

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問(wèn)題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點(diǎn)O,以O(shè)為頂點(diǎn),以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)O、C重合)
(i)當(dāng)∠APD=60°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(ii)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD,交y軸于點(diǎn)E,設(shè)PO=x,OE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

27、如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DF=BE.容易證得:CE=CF;
(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,試猜想GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,若以C為圓心,CD為半徑作圓,試判斷此圓與直線EG的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:
如圖2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且∠DCE=45°,BE=4,求DE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿折線B→C→D→A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,△ABP的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則△ABC的面積為( 。
精英家教網(wǎng)
A、16B、48C、24D、64

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段CD與BC上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)F以每秒2cm的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng);當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求AD的長(zhǎng);
(2)設(shè)四邊形BFED的面積為y,求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出t的取值范圍;
(3)點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,如果由點(diǎn)C、E、F構(gòu)成的三角形與△BDC相似,求線段BF的長(zhǎng).

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