【題目】(1)如圖①,在正方形ABCD中,AEF的頂點E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求EAF的度數(shù).

(2)如圖②,在RtABD中,BAD=90°,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點,且MAN=45°,將ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ADH位置,連接NH,試判斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)在圖①中,連接BD分別交AE,AF于點M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的長.

【答案】(1)45°(2)MN2=ND2+DH2(3)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)高AG與正方形的邊長相等,證明三角形全等,進而證明角相等,從而求出解.

(2)用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論.

(3)設(shè)出線段的長,結(jié)合方程思想,用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.

試題解析:(1)在RtABE和RtAGE中,AB=AG,AE=AE,

RtABERtAGE(HL).

∴∠BAE=GAE.

同理,GAF=DAF.

(2)MN2=ND2+DH2

∵∠BAM=DAH,BAM+DAN=45°,

∴∠HAN=DAH+DAN=45°.

∴∠HAN=MAN.

AM=AH,AN=AN,

∴△AMN≌△AHN.

MN=HN.

∵∠BAD=90°,AB=AD,

∴∠ABD=ADB=45°.

∴∠HDN=HDA+ADB=90°.

NH2=ND2+DH2

MN2=ND2+DH2

(3)由(1)知,BE=EG,DF=FG.

設(shè)AG=x,則CE=x﹣4,CF=x﹣6.

在RtCEF中,

CE2+CF2=EF2,

(x﹣4)2+(x﹣6)2=102

解這個方程,得x1=12,x2=﹣2(舍去負根).

即AG=12.

在RtABD中,

在(2)中,MN2=ND2+DH2,BM=DH,

MN2=ND2+BM2

設(shè)MN=a,則

即a 2=(9﹣a) 2+(3 2

.即MN=5

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