Question

【題目】如圖，拋物線y=x2－4x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q．

（1）這條拋物線的對(duì)稱軸是 ，直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是 ；

（2）若兩個(gè)三角形面積滿足S△POQ=S△PAQ，求m的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D，求：①PD＋DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x=2,45；（2）m=-1或2；（3）①6；②18．

【解析】試題分析：（1）把解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，或利用對(duì)稱軸公式即可得該拋物線的對(duì)稱軸，利用直線y=x+m與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)；（2）分情況討論，即直線PQ與x軸的交點(diǎn)落在OA的延長(zhǎng)線上，OA上，AO的延長(zhǎng)線上三種情況討論m值.設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)B，分別過(guò)O點(diǎn)，A點(diǎn)作PQ的垂線，垂足分別是E、F，，當(dāng)點(diǎn)B在OA的延長(zhǎng)線時(shí)，S△POQ=S△PAQ不成立；當(dāng)點(diǎn)B落在線段OA上時(shí)， ，由△OBE∽△ABF得， ，由對(duì)稱軸求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由比例式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線PQ解析式，即可求得m值；當(dāng)點(diǎn)B落在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理由比例式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定m值；(3)①由題意可過(guò)點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H，可得△CHQ是等腰三角形，AD⊥PH，DQ=DH，PD＋DQ=PH，過(guò)P點(diǎn)作PM⊥CH于點(diǎn)M，可得△PMH是等腰直角三角形，PH=PM，即當(dāng)PM最大時(shí)，PH最大，顯然當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時(shí)，PM最大，此時(shí)PM=6，于是求得PH的最大值.即PD＋DQ的最大值；②上題求得PD+DQ的最大值為6．即PD+DQ ≤6，設(shè)PD=a，則DQ ≤6－a，所以PDDQ≤a（6－a）=－（a－3）2＋18，即當(dāng)PD=DQ=3時(shí)求得PDDQ的最大值

試題解析：（1）∵y=x2－4x=(x－2)2－4，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，∵直線y=x+m與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－m，0)，(0，m)，∴交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，∴直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是45°.故答案為x=2；45°．（2）設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)B，分別過(guò)O點(diǎn)，A點(diǎn)作PQ的垂線，垂足分別是E、F，顯然當(dāng)點(diǎn)B在OA的延長(zhǎng)線時(shí)，OE>AF,S△POQ=S△PAQ不成立；①當(dāng)點(diǎn)B落在線段OA上時(shí)，如圖①，

，由△OBE∽△ABF得， ，∴AB=3OB，∴OB =OA，由y=x2－4x得點(diǎn)A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），代入y=x+m,∴1＋m=0，∴m=－1；②當(dāng)點(diǎn)B落在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，

同理可得OB =OA=2，∴B（－2，0），∴－2＋m=0，∴m=2，；綜上所述，當(dāng)m=－1或2時(shí)，S△POQ=S△PAQ；

（3）①過(guò)點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H，如圖③，

可得△CHQ是等腰三角形，∵=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD＋DQ=PH，過(guò)P點(diǎn)作PM⊥CH于點(diǎn)M，則△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴當(dāng)PM最大時(shí)，PH最大，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時(shí)，PM最大，此時(shí)PM=6，∴PH的最大值為6，即PD+DQ的最大值為6．②由①可知：PD+DQ ≤6，設(shè)PD=a，則DQ ≤6－a，∴PDDQ ≤a（6－a）=－a2＋6a=－（a－3）2＋18，∵當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，a=3，∴PDDQ ≤18．；∴PDDQ的最大值為18．