Question

【題目】如圖，在中，，.

(1)如圖1，點在邊上，，，求的面積.

(2)如圖2，點在邊上，過點作，，連結(jié)交于點，過點作，垂足為，連結(jié).求證：.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可得AC，進而可得BC與BD，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可；

（2）過點B作BH⊥BG交EF于點H，如圖3，則根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠CBG=∠EBH，由已知易得BE∥AC，于是∠E=∠EFC，由于，，則根據(jù)余角的性質(zhì)得∠EFC=∠BCG，于是可得∠E=∠BCG，然后根據(jù)ASA可證△BCG≌△BEH，可得BG=BH，CG=EH，從而△BGH是等腰直角三角形，進一步即可證得結(jié)論．

解：（1）在△ACD中，∵，，，∴，

∵，∴BC=4，BD=3，∴；

（2）過點B作BH⊥BG交EF于點H，如圖3，則∠CBG+∠CBH=90°，

∵，∴∠EBH+∠CBH=90°，∴∠CBG=∠EBH，

∵，，∴BE∥AC，∴∠E=∠EFC，

∵，，∴∠EFC+∠FCG=90°，∠BCG+∠FCG=90°，

∴∠EFC=∠BCG，∴∠E=∠BCG，

在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），

∴BG=BH，CG=EH，

∴，

∴．