【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,⊙O1x軸相切于點A-2,0),與y軸交于B、C兩點,O1B的延長線交x軸于點D,0),連結(jié)AB

1)求證:∠ABO1=∠ABO;

2)設(shè)E為優(yōu)弧的中點,連結(jié)AC、BE交于點F,請你探求BE·BF的值.

3)如圖2,過A、B兩點作⊙O2y軸的正半軸交于點M,與BD的延長線交于點N,當(dāng)⊙O2的大小變化時,給出下列兩個結(jié)論.

①BM-BN的值不變;②BM+BN的值不變,其中有且只有一個結(jié)論是正確的,請你判斷哪一個結(jié)論正確,證明正確的結(jié)論并求出其值.

(友情提示:如圖3,如果DEBC,那么

【答案】(1)證明見解析(2)3(3)BM-BN=BG=2其值不變

【解析】試題分析:(1)連接O1A,AB,由圓O1x軸切于A,根據(jù)切線的性質(zhì)得到O1AOA,由OBAO垂直,根據(jù)平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行,得到O1AOB平行,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等,得到O1AB=∠OBA,再由O1AO1B,根據(jù)等邊對等角可得出O1AB=∠O1BA等量代換可得出∠ABO1=∠ABO,得證;

(2)連結(jié)CE,根據(jù)提示可得,設(shè)DB2x,則O1D5x,O1AO1B5x2x3x,RtDAO1中,利用勾股定理列出方程求出x的值,然后依據(jù)切割線定理求出OC、BC,由勾股定理可得AB,然后證△ABF∽△EBC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例變形即可得出結(jié)論;

3兩個結(jié)論中,①BMBN的值不變正確,理由為:在MB上取一點G,使MGBN,連接AM、AN、AG、MN,由∠ABO1為四邊形ABMN的外角,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角,可得出∠ABO1NMA,再由∠ABO1ABO,等量代換可得出∠ABONMA,然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABOANM,等量代換可得出∠NMAANM,根據(jù)等角對等邊可得出AMAN,再由同弧所對的圓周角相等,及OMBN,利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AGAB,由AOBG垂直,根據(jù)三線合一得到OBG的中點,根據(jù)OB的長求出BG的長,然后BMBNBMMGBG,由BG為常數(shù)得到BMBN的長不變,得證.

試題解析:

1)證明:連結(jié)O1AAB,

O1AOA

O1AOB,

∴∠O1ABABO

又∵O1AO1B,

∴∠O1ABO1BA

∴∠ABO1ABO;

2)連結(jié)CEO1AOB,

設(shè)DB2x,則O1D5xO1AO1B5x2x3x,

RtDAO1中,(3x2+(2=(5x2,x,

O1AO1B,OB1,

OA是⊙O1的切線,∴OA2OB·OC,

OC4BC3,AB

E為優(yōu)弧AC的中點,∴∠ABFEBC,

∵∠BAFE

∴△ABF∽△EBC,

BE·BFAB·BC3

3)解:①BMBN的值不變.

證明:在MB上取一點G,使MGBN,連結(jié)AM、AN、AG、MN,

∵∠ABO1ABOABO1AMN,ABOANM,

∴∠AMNANM,

AMAN,

∵∠AMGANBMGBN,

∴△AMG≌△ANB,

AGAB,

ADBG,

BG2BO2,

BMBNBG2其值不變.

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