Question

16．如圖，正方形OABC的邊長為4，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$π
• B． $\frac{8}{3}$π
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是以G為圓心的弧$\widehat{EF}$，在⊙G上取一點(diǎn)H，連接EH、FH，只要證明∠EGF=90°，求出GE的長即可解決問題．

解答 解：如圖，
點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是以G為圓心的弧$\widehat{EF}$，在⊙G上取一點(diǎn)H，連接EH、FH．
∵四邊形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直徑，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=4$\sqrt{2}$，
∴$\widehat{EF}$的長=$\frac{90π•4\sqrt{2}}{180}$=2$\sqrt{2}$π．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軌跡、圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確發(fā)現(xiàn)軌跡的位置，學(xué)會添加輔助線，利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．