Question

【題目】如圖，△ABD是邊長為3的等邊三角形，E，F分別是邊AD，AB上的動點，若∠ADC=∠ABC=90°，則△CEF周長的最小值為______．

Answer 1

【答案】6

【解析】如圖，因為，所以分別作點C關(guān)于AD、AB的對稱點M、N，連接MN，MN與AD交于點E，與AB交于點F，連接CE、CF，則此時△CEF的周長最小，

連接AC，交MN于點P，

由作圖可知CE=ME、CF=FN，∴△CEF的周長：CE+CF+EF=MN，

∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，

∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，

∴CD=CB，

∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，

又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，

∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°，

∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，

又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，

∴MN=2MP=6，

即△CEF周長的最小值是6，

故答案為：6.