【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式
(2)如圖1,已知點(diǎn)在拋物線上,作射線BD,點(diǎn)Q為線段AB上一點(diǎn),過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M,作于點(diǎn)N,過Q作軸交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)QM與QN的積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接AP,若點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn),且滿足,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1);(2);(3)或
【解析】
(1)求出A、B的坐標(biāo),設(shè)二次函數(shù)解析式為,把A(0,2)代入即可得出結(jié)論;
(2)先求出D的坐標(biāo)和直線BD的解析式,過D作DT⊥x軸于T,可求得∠DBO=45°.設(shè)Q(m,m+2),則G(m,-m+4),MQ=m.設(shè)∠ABO=α,則∠NBQ=45°-α,∠MQB=180°-α.證明ΔGQN為等腰直角三角形,表示出NQ,MQNQ,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可;
(3)如圖,過A作AH⊥PE于點(diǎn)H,解Rt△APH,得到AH=1,PH=2.設(shè)H(m,n),利用兩點(diǎn)間距離公式可求出H的坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
(1)在中,令x=0,得y=2,∴A(0,2);
令y=0,得,解得:x=4,∴B(4,0).
設(shè)二次函數(shù)解析式為,
將A(0,2)代入得:
解得:,
∴.
(2)∵點(diǎn)D(1,n)在拋物線上,∴n==3,
∴D(1,3).
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則,
解得:,
∴直線BD的解析式為:y=-x+4.
過D作DT⊥x軸于T,則OT=1,DT=3.
∵OB=4,∴BT=OB-OT=4-1=3,
∴DT=BT,
∴∠DBO=45°.
設(shè)Q(m,m+2),則G(m,-m+4),MQ=m.設(shè)∠ABO=α,則∠NBQ=45°-α
∠MQB=180°-α.
又∵∠PQM=90°,∠NQB=90°-(45°-α)=45°+α,
∴∠GQN=360°-90°-(180°-α)-(45°+α)=45°,
∴ΔGQN為等腰直角三角形,
∴NQ=,
∴MQNQ=.
當(dāng)m=2時(shí),QMQN最大,此時(shí)P(2,3).
(3)如圖,過A作AH⊥PE于點(diǎn)H,其中,∠APE=∠ABO.
又A(0,2),P(2,3),
,
∴,
∴PH=2AH.
∵AP=,,
∴,
∴AH=1,PH=2.
設(shè)H(m,n),
則,
,
解得:;,
∴,.
①易求直線PH的解析式為:
令
解得:(舍)
∴;
②易求直線PH1的解析式為:.
令,
解得:,
∴.
綜上所述:符合題意的E點(diǎn)坐標(biāo)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC,tanB,半徑為2的⊙C分別交AC,BC于點(diǎn)D、E,得到DE。
(1)求證:AB為⊙C的切線.
(2)求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)D為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ADB=∠ACB+90°,過點(diǎn)B作BE⊥BD,BE=BD,連接EC.
(1)求∠CAD+∠CBD的度數(shù);
(2)若,
①求證:△ACD∽△BCE;
②求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,為邊上的中線,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連接,.若,點(diǎn)到的距離,則四邊形的周長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】光明中學(xué)為了解學(xué)生對(duì)食堂工作的滿意程度,8年級(jí)2班數(shù)學(xué)興趣小組在全校甲、乙兩個(gè)班內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意、非常滿意四類,回收、整理好全部問卷后,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)結(jié)合圖中信息,解決下列問題:
(1)求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù);
(2)求此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù);
(3)興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為一般的4位同學(xué)中隨機(jī)選擇2位進(jìn)行回訪,已知4位同學(xué)中有2位來自甲班,另2位來自乙班,請(qǐng)用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的同學(xué)均來自甲班的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以的邊為直徑作,點(diǎn)C在上,是的弦,,過點(diǎn)C作于點(diǎn)F,交于點(diǎn)G,過C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:是的切線;
(2)求證:;
(3)若,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料
我們通過下列步驟估計(jì)方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范圍.
第一步:畫出函數(shù)y=2x2+x﹣2的圖象,發(fā)現(xiàn)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且與x軸的一個(gè)
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0,1之間.
第二步:因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),y=﹣2<0;當(dāng)x=1時(shí),y=1>0.
所以可確定方程2x2+x﹣2=0的一個(gè)根x1所在的范圍是0<x1<1.
第三步:通過取0和1的平均數(shù)縮小x1所在的范圍;
取x=,因?yàn)楫?dāng)x=時(shí),y<0,
又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),y>0,
所以<x1<1.
(1)請(qǐng)仿照第二步,通過運(yùn)算,驗(yàn)證2x2+x﹣2=0的另一個(gè)根x2所在范圍是﹣2<x2<﹣1;
(2)在﹣2<x2<﹣1的基礎(chǔ)上,重復(fù)應(yīng)用第三步中取平均數(shù)的方法,將x2所在范圍縮小至m<x2<n,使得n﹣m≤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在函數(shù)y=(x>0)的圖象上從左向右運(yùn)動(dòng),PA∥y軸,交函數(shù)y=﹣(x>0)的圖象于點(diǎn)A,AB∥x軸交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B,則△PAB的面積( 。
A.逐漸變大B.逐漸變小C.等于定值16D.等于定值24
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏東70o方向上,輪船從A處以每小時(shí)30海里的速度沿南偏東50o方向勻速航行,1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處,此時(shí)觀測(cè)燈塔C位于北偏東25o方向上,求燈塔C與碼頭B之間的距離(結(jié)果保留根號(hào)).
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