如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)N，直線y=kx+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線交于B（1，m）、C（2，2）兩點(diǎn)．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動(dòng)點(diǎn)P（x，y），設(shè)∠PON=α，求當(dāng)△PON的面積最大時(shí)tanα的值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P保持（2）中的運(yùn)動(dòng)路線，問是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△PON面積的
8
15
？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（1）將點(diǎn)C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1
所以直線的解析式為y=-x+4
當(dāng)x=1時(shí)，y=3，
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）
將B、C、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2+bx+c，
可得
a+b+c=3
4a+2b+c=2
c=0

解得
a=-2
b=5
c=0
，
所以所求的拋物線為y=-2x2+5x．

（2）因?yàn)镺N的長是一定值，
所以當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△PON的面積最大，
又該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（
5
4
，
25
8
），此時(shí)tan∠PON=
y
x
=
25
8
：
5
4
=
5
2
．

（3）存在；
把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點(diǎn)A（0，4）
把y=0代入拋物線y=-2x2+5x
得x=0或x=
5
2
，所以點(diǎn)N（
5
2
，0）
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），
其中y=-2x2+5x （0＜x＜
5
2
）
則得：S△OAP=
1
2
|OA|•x=2x
S△ONP=
1
2
|ON|•y=
1
2
×
5
2
•（-2x2+5x）=
5
4
（-2x2+5x）
由S△OAP=
8
15
S△ONP，
即2x=
8
15
•
5
4
（-2x2+5x）
解得x=0或x=1，舍去x=0
得x=1，由此得y=3
所以得點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，3）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=（1-m）x2+4x-3開口向下，與x軸交于A（x1，0）和B（x2，0）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若x12+x22=10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線；
（3）設(shè)這條拋物線的頂點(diǎn)為C，延長CA交y軸于點(diǎn)D．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式；
（4）設(shè)點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸，交y軸于點(diǎn)N．若在線段AB上有且只有一點(diǎn)P，使∠MPN為直角，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為
5
的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax-2上．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖②，E為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，過A、B、E三點(diǎn)作⊙O′，連接AE，在⊙O′上另有一點(diǎn)F，且AF=AE，AF交BC于點(diǎn)G，連接BF．下列結(jié)論：①BE+BF的值不變；②
BF
AF
=
BG
AG
，其中有且只有一個(gè)成立，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC1D1和△BC2D2兩個(gè)三角形（如圖所示）．將紙片△AC1D1沿直線D2B（AB）方向平移（點(diǎn)A，D1，D2，B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)D1于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．在平移過程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E，AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P．
（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的x的值使得y=
1
4
S△ABC；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

用長6米的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，則這個(gè)窗戶的最大透光面積為______米2．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出．已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價(jià)每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為R=500+30x，P=170-2x．
（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤為1750元？
（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

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