【題目】定義:連結(jié)菱形的一邊中點與對邊的兩端點的線段把它分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,那么稱這樣的菱形為自相似菱形.
(1)判斷下列命題是真命題,還是假命題?
①正方形是自相似菱形;
②有一個內(nèi)角為60°的菱形是自相似菱形.
③如圖1,若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E為BC中點,則在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE與△AED.
(2)如圖2,菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是銳角,邊長為4,E為BC中點.
①求AE,DE的長;
②AC,BD交于點O,求tan∠DBC的值.
【答案】(1)見解析;(2)①AE=2,DE=4;②tan∠DBC=.
【解析】
(1)①證明△ABE≌△DCE(SAS),得出△ABE∽△DCE即可;
②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論;
③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)①由(1)③得△ABE∽△DEA,得出,求出AE=2,DE=4即可;
②過E作EM⊥AD于M,過D作DN⊥BC于N,則四邊形DMEN是矩形,得出DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,設AM=x,則EN=DM=x+4,由勾股定理得出方程,解方程求出AM=1,EN=DM=5,由勾股定理得出DN=EM==,求出BN=7,再由三角函數(shù)定義即可得出答案.
解:(1)①正方形是自相似菱形,是真命題;理由如下:
如圖3所示:
∵四邊形ABCD是正方形,點E是BC的中點,
∴AB=CD,BE=CE,∠ABE=∠DCE=90°,
在△ABE和△DCE中
,
∴△ABE≌△DCE(SAS),
∴△ABE∽△DCE,
∴正方形是自相似菱形,
故答案為:真命題;
②有一個內(nèi)角為60°的菱形是自相似菱形,是假命題;理由如下:
如圖4所示:
連接AC,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD,AD∥BC,AB∥CD,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,∠DCE=120°,
∵點E是BC的中點,
∴AE⊥BC,
∴∠AEB=∠DAE=90°,
∴只能△AEB與△DAE相似,
∵AB∥CD,
∴只能∠B=∠AED,
若∠AED=∠B=60°,則∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°,
∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°,
∴∠CED=∠CDE,
∴CD=CE,不成立,
∴有一個內(nèi)角為60°的菱形不是自相似菱形,
故答案為:假命題;
③若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E為BC中點,
則在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE與△AED,是真命題;理由如下:
∵∠ABC=α(0°<α<90°),
∴∠C>90°,且∠ABC+∠C=180°,△ABE與△EDC不能相似,
同理△AED與△EDC也不能相似,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAE,
當∠AED=∠B時,△ABE∽△DEA,
∴若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E為BC中點,
則在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE與△AED,
故答案為:真命題;
(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是銳角,邊長為4,E為BC中點,
∴BE=2,AB=AD=4,
由(1)③得:△ABE∽△DEA,
∴
∴AE2=BEAD=2×4=8,
∴AE=2,DE===4,
故答案為:AE=2;DE=4;
②過E作EM⊥AD于M,過D作DN⊥BC于N,如圖2所示:則四邊形DMEN是矩形,
∴DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,
設AM=x,則EN=DM=x+4,
由勾股定理得:EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2,
即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2,
解得:x=1,
∴AM=1,EN=DM=5,
∴DN=EM==,
在Rt△BDN中,
∵BN=BE+EN=2+5=7,
∴tan∠DBC=,
故答案為:.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一張三角形紙片,其三邊之比為.小方將紙片對折,第一次使頂點和重合,第二次使頂點和重合,第三次使頂點和重合,三條折痕依次記為,,,則的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】為紀念建國70周年,某校舉行班級歌詠比賽,歌曲有:《我愛你,中國》,《歌唱祖國》,《我和我的祖國》(分別用字母A,B,C依次表示這三首歌曲).比賽時,將A,B,C這三個字母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上,洗勻后正面向下放在桌面上,八(1)班班長先從中隨機抽取一張卡片,放回后洗勻,再由八(2)班班長從中隨機抽取一張卡片,進行歌詠比賽.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是__________;
(2)試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
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【題目】某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元,經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分數(shù)據(jù)如下表:
售價x(元/千克) | 50 | 60 | 70 |
銷售量y(千克) | 100 | 80 | 60 |
(1)求y與x之間的函數(shù)表達式;
(2)設商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤=收入﹣成本);并求出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】問題提出
(1)如圖①,在中,,求的面積.
問題探究
(2)如圖②,半圓的直徑,是半圓的中點,點在上,且,點是上的動點,試求的最小值.
問題解決
(3)如圖③,扇形的半徑為在選點,在邊上選點,在邊上選點,求的長度的最小值.
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【題目】2018央視中秋晚會在曲阜尼山舉行,讓全國乃至全世界的目光再一次聚焦曲阜.其中世界最大最高的孔子像,位于晚會場地對面尼山圣境儒宮西側(cè)小山上.來觀看晚會的小明想測量一下遠處孔子像的高度.如圖,小明在B處測得孔子像的頂端A的仰角為,然后沿著正對孔子像的方向前進了160m到達E處,再次測得孔子像的頂端A的仰角.已知塑像的底座,小山的高度,那么孔子像的高度是多少?(參考數(shù)據(jù):,,,).
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【題目】如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC為直徑作⊙O交AB于點D.
(1)求線段AD的長度;
(2)點E是線段AC上的一點,試問:當點E在什么位置時,直線ED與⊙O相切?請說明理由.
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【題目】李師傅駕車從甲地到乙地,途中在加油站加了一次油,加油時,車載電腦顯示油箱中剩余油量4升,已知汽車行駛時,每小時耗油量一定,設油箱中剩余油量為(升),汽車行駛時間為(時),與之間的函數(shù)圖像如圖所示.
(1)求李師傅加油前與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求的值;
(3)李師傅在加油站的加油量.
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