Question

已知：如圖，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，記∠ACB-∠ABC=α，AD為△ABC的角平分線，M為DC上一點，ME與AD所在直線垂直，垂足為E．
（1）用α的代數(shù)式表示∠DME的值；
（2）若點M在射線BC上運動（不與點D重合），其它條件不變，∠DME的大小是否隨點M位置的變化而變化？請畫出圖形，給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）作直線EM交AB于點F，交AC的延長線于點G，由角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，根據(jù)ME⊥AD得出∠3=∠G，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結論；
（2）設點M運動到M′，過點M′作M′E′⊥AD于點E′，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結論．

解答：解：（1）解法一：作直線EM交AB于點F，交AC的延長線于點G．（見圖1）
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵ME⊥AD，
∴∠AEF=∠AEG=90°
∴∠3=∠G．
∵∠3=∠B+∠DME，
∴∠ACB=∠G+∠GMC=∠G+∠DME，
∴∠B+∠DME=∠ACB-∠DME．
∴∠DME=

1

2

（∠ACB-∠B）=

α

2

；（2分）
解法二：如圖2（不添加輔助線），
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵ME⊥AD，
∴∠DEM=90°，∠ADC+∠DME=90°．
∵∠ADB=∠2+∠C=90°+∠DME，
∴∠DME=∠2+∠C-90°．
∵∠ADC=∠1+∠B，
∴∠1=∠ADC-∠B．
∴∠DME=∠1+∠C-90°=（∠ADC-∠B）+∠C-90°
=∠C-∠B-（90°-∠ADC）=∠C-∠B-∠DME
∴∠DME=

1

2

（∠C-∠B）=

α

2

；（2分）

（2）如圖3和圖4，點M在射線BC上運動（不與點D重合）時，∠DME的大小不變．（點M運動到點B和點C時同理）
證法一：設點M運動到M′，過點M′作M′E′⊥AD于點E′
∵M′E′⊥AD，
∴ME∥M′E′．
∴∠DM′E′=∠DME=

α

2

．（4分）
證法二：圖3與圖4中分別與第（1）問同理可證．

點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．