Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A（﹣4，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）如圖l，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，連接PC、PA，PA交y軸于點F，設(shè)點P的橫坐標為t，△CPF的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BC，過點P作PD∥y軸變BC于點D，點H為AF中點，且點N（0，1），連接NH、BH，將∠NHB繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)，使角的一條邊H落在射線HF上，另一條邊HN變拋物線于點Q，當BH=BD時，求點Q坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+x+12．

（2）

解：如圖1所示：過點P作PR⊥y軸，交y軸于點R，過點P作PL⊥AB于點L．

點P（t，﹣ t2+t+12），則AL=t+4，PL=﹣ t2+t+12=﹣ （t+4）（t﹣6）．

∴tan∠PAL= =3﹣ t．

在Rt△FAO中，tan∠FAO= = =3﹣ t．

∴OF=12﹣2t．

∴CF=CO﹣OF=12﹣（12﹣2t）=2t，

∴S△CPF= CFPR= ×2tt=t2．

（3）

解：延長PD交x軸于點L，取OA的中點K，連接HK，過點H作HG⊥y軸于點G，過點Q作QM⊥HG于點M．

∵OF=12﹣2t，點H為AF的中點，HK⊥OA，

∴HK= OF=6﹣t=BL．

∵在Rt△BHK和Rt△DBL中，HK=BL，BH=BD，

∴Rt△BHK≌Rt△DBL

∴BK=DL=8．

直線BC的解析式為y=﹣2x+12，

∴點D（t，﹣2t+12）．

∵DL=12﹣2t=8，

∴t=2．

∴點P（2，12），點H（﹣2，4）．

∴tan∠AHK=tan∠HBK= ，

∴∠AHK=∠HBK，

∴∠AHB=90°．

∵∠NHB=∠PHQ，

∴∠NHQ=90°，

∴∠HNG=∠QHM．

∵點N（0，1），HG=2，

∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM= ， = ．

設(shè)點Q（m，﹣ m2+m+12），QM=﹣ m2+m+12﹣4=﹣ m2+m+8，HM=m+2．

∴ = ，解得：m1=﹣ （舍去），m2=4，

∴點Q（4，8）．

【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線y=﹣ x2+bx+c的解析式，得到關(guān)于b、c的方程組，然后解得b、c的值即可；（2）過點P作PR⊥y軸，交y軸于點R，過點P作PL⊥AB于點L．設(shè)點P（t，﹣ t2+t+12），則AL=t+4，PL=﹣ （t+4）（t﹣6），可求得tan∠PAL=3﹣ t，從而得到=12﹣2t，最后依據(jù)S△CPF= CFPR求解即可；（3）延長PD交x軸于點L，取OA的中點K，連接HK，過點H作HG⊥y軸于點G，過點Q作QM⊥HG于點M．首先證明Rt△BHK≌Rt△DBL，從而得到BK=DL=8，然后求得直線BC的解析式，設(shè)點D（t，﹣2t+12），然后由DL=8可求得t的值，從而得到點P和點H的坐標，然后再求得 = ，設(shè)點Q（m，﹣ m2+m+12），則QM=﹣ m2+m+8，HM=m+2，最后再依據(jù) = 列方程求解即可．