Question

【題目】已知拋物線的開口向上頂點為P

（1）若P點坐標(biāo)為（4，一1），求拋物線的解析式；

（2）若此拋物線經(jīng)過（4，一1），當(dāng)－1≤x≤2時，求y的取值范圍（用含a的代數(shù)式表示）

（3）若a＝1，且當(dāng)0≤x≤1時，拋物線上的點到x軸距離的最大值為6，求b的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）1－4a≤y≤4＋5a；（3）b＝2或－10.

【解析】

（1）將P（4，-1）代入，可求出解析式
（2）將（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入對稱軸直線 中，可判斷，且開口向上，所以y隨x的增大而減小，再把x=-1，x=2代入即可求得．
（3）觀察圖象可得，當(dāng)0≤x≤1時，拋物線上的點到x軸距離的最大值為6，這些點可能為x=0，x=1，三種情況，再根據(jù)對稱軸在不同位置進(jìn)行討論即可．

解：（1）由此拋物線頂點為P（4，-1），

所以y＝a（x-4）2-1＝ax2－8ax＋16a－1，即16a－1＝3，解得a=， b=-8a=-2

所以拋物線解析式為：；

（2）由此拋物線經(jīng)過點C（4，－1），

所以 一1＝16a＋4b＋3，即b＝－4a－1．

因為拋物線的開口向上，則有

其對稱軸為直線，而

所以當(dāng)－1≤x≤2時，y隨著x的增大而減小

當(dāng)x＝－1時，y=a+(4a+1)+3=4+5a

當(dāng)x＝2時，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a

所以當(dāng)－1≤x≤2時，1－4a≤y≤4＋5a；

（3）當(dāng)a＝1時，拋物線的解析式為y＝x2＋bx＋3

∴拋物線的對稱軸為直線

由拋物線圖象可知，僅當(dāng)x＝0，x＝1或x＝－時，拋物線上的點可能離x軸最遠(yuǎn)

分別代入可得，當(dāng)x＝0時，y=3

當(dāng)x=1時，y＝b＋4

當(dāng)x=-時,y=-+3

①當(dāng)一＜0，即b＞0時，3≤y≤b+4，

由b＋4＝6解得b＝2

②當(dāng)0≤-≤1時，即一2≤b≤0時，△＝b2－12＜0，拋物線與x軸無公共點

由b＋4＝6解得b＝2(舍去)；

③當(dāng) ，即b＜－2時，b＋4≤y≤3，

由b＋4＝－6解得b＝－10

綜上，b＝2或－10