Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是邊BC上一點(diǎn)，QP⊥AP交DC于Q，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，△ADQ的面積最小并求出這個(gè)最小面積．

Answer 1

分析：設(shè)出一個(gè)變量，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式，把最小面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問(wèn)題解答．

解答：解：設(shè)BP=x，
∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

AB

PC

=

BP

CQ

，
∴CQ=

BP•PC

AB

=

x(4-x)

4

=-

1

4

x²+x，
∴DQ=

1

4

x²-x+4
∴S_△ADQ=

1

2

AD•DQ=

1

2

×4（

1

4

x²-x+4）
=

1

2

x²-2x+8，
∴當(dāng)x=-

-2

2× 1 2

=2時(shí)，S_△ADQ=6．即當(dāng)點(diǎn)P在BC中點(diǎn)時(shí)，△ADQ有最小值6．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．