Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）當(dāng)t=$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？
（2）連PD，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間PD=PQ？

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形BCQE為矩形，找出線(xiàn)段AP、CQ、PE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理結(jié)合PQ=10即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）在Rt△APD中利用勾股定理找出PD的長(zhǎng)度，結(jié)合PD=PQ即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形BCQE為矩形，如圖所示．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（0＜t＜$\frac{16}{3}$），AP=3t，CQ=2t，
∴PE=AB-AP-BE=AB-AP-CQ=16-5t．
在Rt△PEQ中，PE=16-5t，EQ=BC=6，
∴PQ²=PE²+EQ²=（16-5t）²+6²=10²，
解得：t₁=$\frac{8}{5}$或t₂=$\frac{24}{5}$．
故答案為：$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$．
（2）在Rt△APD中，AP=3t，AD=BC=6，
∴PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}+{6}^{2}}$．
∵PD=PQ，PQ=$\sqrt{（16-5t）^{2}+{6}^{2}}$，
∴$\sqrt{（3t）^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{（16-5t）^{2}+{6}^{2}}$，即（3t）²=（16-5t）²，
解得：t₁=2或t₂=8（舍去）．
答：經(jīng)過(guò)2秒PD=PQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)勾股定理結(jié)合PQ的長(zhǎng)度列出關(guān)于t的一元二次方程；（2）根據(jù)勾股定理結(jié)合PD=PQ列出關(guān)于t的一元二次方程．