Question

【題目】閱讀下列材料、并完成任務(wù).

無限循環(huán)小數(shù)化分數(shù)

我們知道分數(shù)寫出小數(shù)形式即，反過來，無限循環(huán)小數(shù)寫成分數(shù)形式即，一般地，任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)形式.

先以無限循環(huán)小數(shù)為例進行討論.

設(shè)，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.

再以無限循環(huán)小數(shù)為例，做進一步的討論.

無限循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法.

設(shè)，由可知，.

所以.解方程，得，于是，.

類比應(yīng)用（直接寫出答案，不寫過程）

① .② .③ .

能力提升

將化為分數(shù)形式，寫出過程.

拓展探究

① ；

②比較大小 1（填“”或“”或“”）；

③若，則 .

Answer 1

【答案】類比應(yīng)用:①；②；③；能力提升:;拓展探究：①;②；③

【解析】

類比應(yīng)用：根據(jù)轉(zhuǎn)化分數(shù)的方法，設(shè)=x，仿照例題的解法即可得出結(jié)論；根據(jù)轉(zhuǎn)化分數(shù)的方程，分別設(shè)=x，=x，仿照例題的解法即可得出結(jié)論；
能力提升：設(shè)=x,由1000x-x=213求解；

拓展探究：①設(shè)x,則10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出結(jié)果；②先將化成分數(shù)即可得出結(jié)果；③設(shè)=x,y①,則1000x =②,由②-①式可得出結(jié)果.

類比應(yīng)用

解：①設(shè)=x，則，所以，解方程，得，得=；

②設(shè)=x，，.所以.解方程，得，=；

③設(shè)=x，則，.所以.解方程，得.

故答案為：①；②；③；

能力提升

解：設(shè)，，

，

，

，

于是.

拓展探究：

①設(shè)x,則10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;

②設(shè)x,則10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；

③設(shè)=x,y,

則1000x=,

所以1000x-y=138,

又x=，所以y=.

故答案為：①；②=；③.