Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于點A(-2，0)和點B，與y軸交于C，對稱軸為直線x＝ ．

（1）求a、b滿足的關系式；

（2）若點D為拋物線的頂點，連接CD，DB，BC，S△BCD＝ ．

①求拋物線的解析式；

②點Ｍ是第一象限內對稱軸右側拋物線上一點，過點Ｍ作MN⊥x軸，垂足為點N，線段MN上有一點H，若∠HBA＋∠MAB＝90°，求證：HN的長為定值．

Answer 1

【答案】（1）a＋b＝0；（2）① y＝a(x＋2)(x－3)；②見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求出a、b的關系；

（2）①先求出拋物線與x軸的兩個交點，用交點式設出函數(shù)解析式，再根據(jù)S△BCD＝ 求出a即可；

②先證△BNH ∽△MNA，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，設M(t，－t2＋t＋6)，則N(t，0)，代入計算即可．

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝，

∴－＝，

即b＝－a，

∴a、b滿足的關系式為a＋b＝0

（2）①∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的對稱軸為直線x＝，

且拋物線與x軸的一個交點A的坐標為(－2，0)，

∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(3，0)．

設拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－3)，

即y＝ax2－ax－6a，

當x＝0時，y＝－6a，

∴C(0，－6a)，

設直線BC的解析式為y＝kx＋m，

將B(3，0)，C(0，－6a)代入直線BC的解析式得，

，解得，

∴直線BC的解析式為y＝2ax－6a

如圖，設直線BC交拋物線的對稱軸于點E，

∴E(，－5a)，D(，－)，

∴DE＝－a－(－5a)＝－a，

∵S△BCD＝S△BDE＋S△CED

＝DE·(xB－xC)

＝×(－)×3

＝－，

∵S△BCD＝，

∴a＝－1，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋6

②如圖，

∵A(－2，0)，B (3，0)，MN⊥x軸，

∴∠HNB ＝∠ANM ＝90°，

∴∠BHN ＋∠HBN ＝90°，

又∵∠HBA＋∠MAB＝90°，

∴∠BHN ＝∠MAB，

∴△BNH ∽△MNA，

∴＝

設M(t，－t2＋t＋6)，則N(t，0)，

∴＝，

∴HN＝＝＝1，

∴HN的長為定值