【題目】如圖1,已知∠DAC=90°,△ABC是等邊三角形,點P為射線AD上任意一點(點P與點A不重合),連結(jié)CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連結(jié)QB并延長交直線AD于點E.
(1)如圖1,猜想∠QEP= °;
(2)如圖2,3,若當∠DAC是銳角或鈍角時,其它條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),選取一種情況加以證明;
(3)如圖3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的長.
【答案】(1)∠QEP=60°;(2)∠QEP=60°,證明詳見解析;(3)
【解析】
(1)∠QEP=60°;
證明:連接PQ,
∵PC=CQ,且∠PCQ=60°,
則△CQB和△CPA中,
,
∴△CQB≌△CPA(SAS),
∴∠CQB=∠CPA,
又因為△PEM和△CQM中,∠EMP=∠CMQ,
∴∠QEP=∠QCP=60°.
故答案為:60;
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是銳角為例。
證明:如圖2,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∵線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,
∴CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ,
即∠ACP=∠BCQ,
在△ACP和△BCQ中,
,
∴△ACP≌△BCQ(SAS),
∴∠APC=∠Q,
∵∠1=∠2,
∴∠QEP=∠PCQ=60°;
(3)連結(jié)CQ,作CH⊥AD于H,如圖3,
與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,
∴∠APC=30°,∠PCB=45°,
∴△ACH為等腰直角三角形,
∴AH=CH=AC=×4=,
在Rt△PHC中,PH=CH=,
∴PA=PHAH=-,
∴BQ=
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【題目】如圖,它表示甲乙兩人從同一個地點出發(fā)后的情況。到10:00時,甲大約走了13千米。根據(jù)圖象回答:
(1)甲是幾點鐘出發(fā)?
(2)乙是幾點鐘出發(fā),到十點時,他大約走了多少千米?
(3)到10:00為止,哪個人的速度快?
(4)兩人在途中有幾次相遇?分別在幾點鐘相遇?
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【題目】如圖,將ABCD沿EF折疊,恰好使點C與點A重合,點D落在點G處,連接AC、CF.
(1)求證:△ABE≌△AGF.
(2)判斷四邊形AECF的形狀,說明理由.
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【題目】如圖,點A從原點出發(fā)沿數(shù)軸向左運動,同時,點B也從原點出發(fā)沿數(shù)軸向右運動,3秒后,兩點相距15個單位長度.已知點B的速度是點A的速度的4倍(速度單位:單位長度/秒).
(1)求出點A、點B運動的速度,并在數(shù)軸上標出A、B兩點從原點出發(fā)運動3秒時的位置;
(2)若A、B兩點從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時沿數(shù)軸向左運動,幾秒時,原點恰好處在點A、點B的正中間?
(3)若A、B兩點從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時沿數(shù)軸向左運動時,另一點C同時從B點位置出發(fā)向A點運動,當遇到A點后,立即返回向B點運動,遇到B點后又立即返回向A點運動,如此往返,直到B點追上A點時,C點立即停止運動.若點C一直以20單位長度/秒的速度勻速運動,那么點C從開始運動到停止運動,行駛的路程是多少個單位長度?
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【題目】(11·漳州)(滿分8分)漳州市某中學(xué)對全校學(xué)生進行文明禮儀知識測試,為了解測試結(jié)果,隨機抽取部分學(xué)生的成績進行分析,將成績分為三個等級:不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(不完整).請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達標成績,則該校被抽取的學(xué)生中有_ ▲ 人達標;
(3)若該校學(xué)生有1200人,請你估計此次測試中,全校達標的學(xué)生有多少人?
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【題目】在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,從①AB=CD;②AB∥CD;③OA=OC;④OB=OD;⑤AC⊥BD;⑥AC平分∠BAD;這六個條件中,則下列各組組合中,不能推出四邊形ABCD為菱形的是( )
A. ①②⑤B. ①②⑥C. ③④⑥D. ①②④
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,按以下步驟作圖:①以A為圓心,任意長為半徑作弧,分別交AB,AD于點M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,兩弧相交于點P;③作AP射線,交邊CD于點Q,若DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形ABCD周長為________.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A(a ,2)是直線y=x上一點,以A為圓心,2為半徑作⊙A,若P(x,y)是第一象限內(nèi)⊙A上任意一點,則的最小值為( )
A. 1 B. C. —1 D.
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【題目】將正方形 ABCD (如圖 1)作如下劃分:
第1次劃分:分別連接正方形ABCD對邊的中點(如圖2),得線段HF和EG,它們交于點M,此時圖2中共有5個正方形;
第2次劃分:將圖2 左上角正方形AEMH再作劃分,得圖3,則圖3 中共有9個正方形;
(1)若每次都把左上角的正方形依次劃分下去,則第100次劃分后,圖中共有 個正方形;
(2)繼續(xù)劃分下去,第幾次劃分后能有805個正方形?寫出計算過程.
(3)按這種方法能否將正方形ABCD劃分成有2015個正方形的圖形?如果能,請算出是第幾次劃分,如果不能,需說明理由.
(4)如果設(shè)原正方形的邊長為1,通過不斷地分割該面積為1的正方形,并把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來,可以很容易得到一些計算結(jié)果,試著探究求出下面表達式的結(jié)果吧.
計算 .( 直接寫出答案即可)
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