Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線y=x上有一點(diǎn)A，AD⊥x軸于D，且AD=3，C是x軸上的一點(diǎn)，AC⊥AO，長(zhǎng)度等于OD的線段EF在x軸上沿OC方向以1/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前EF和OD重合，當(dāng)F點(diǎn)與C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，包括起點(diǎn)、終點(diǎn)），過E，F(xiàn)分別作OC的垂線交直角邊于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，連接線段PD，QD，PQ，PQ交線段AD于點(diǎn)M，若設(shè)EF運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）寫出A點(diǎn)坐標(biāo)______．PE=______（用含t的代數(shù)式表示線段），其中自變量t的取值范圍為______；
（2）是否存在t的值，使得線段PD⊥QD？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）①當(dāng)t=秒時(shí)，線段AM=______；
②求線段AM關(guān)于自變量t的函數(shù)解析式，并求出AM的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AD⊥x軸于D，且AD=3點(diǎn)A過直線y=x
∴代入函數(shù)式解得A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）
解法①由題意得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，過直線y=x，所以縱為坐標(biāo)，即PE=；
解法②∵AP⊥AQ，AM⊥EF
易證△AOD∽△ADC∽△AOC∽△OPE∽△CQF，且三邊之比都為3：4：5，
求得PE=，DC=．
∴t的取值范圍為0≤t≤；

（2）不存在t的值使PD⊥QD，理由如下：
方法一（相似）
∵OE=DF=t，∴FC=-t
∴QF=
若PD⊥QD，易證△PED∽△DQF
則=
∴=
4-t=-t
4=
這是不可能的，
∴不存在t的值使PD⊥QD
方法二（勾股定理的逆定理）
∵AP²+AQ²=（5-）²+（）²=25-+²+²
PD²+QD²=（PE²+DE²）+（DF²+FQ²）=（）²+（4-t）²+t²+（3-）²
∴AP²+AQ²≠PD²+QD²
∴PD⊥QD不可能
∴不存在t的值使PD⊥QD．

（3）①解法如下，只要把當(dāng)t=秒代入②中表達(dá)式
②方法一（面積法）：
∵AP⊥AQ，AM⊥EF
∴S_△APQ=AP×AQ=AM×ED+AM×DF=AM×EF
∴AM==
==-²
=-（t-2）²+
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，AM最大值為．
方法二（相似）
過P作PH⊥QF于T，交AD于H．
QT=3-_-=3_-
∵△PMH∽△PTQ
∴=
即=
∴MH=-²-+3
∴AM=AD-HD-MH=-²+
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，AM最大值為

方法三（函數(shù)法）
設(shè)直線PQ解析式為y=kx+b．
∵P（t，），Q（t+4，3-）
∴解得
∴y=（）x+
∵M(jìn)_x=4
∴M_y=（）×4+=3-=MD
∴AM=AD-MD
=3-（3-）
=-²+
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，AM最大值為．
分析：（1）根據(jù)直線方程和點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以求出橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；找到終點(diǎn)位置，可以知道t的極限值．
（2）把結(jié)論當(dāng)做已知條件，根據(jù)勾股定理或者三角形相似列出方程式，找到相應(yīng)的關(guān)系式，驗(yàn)證是否在定義域內(nèi)即可．
（3）可以有多種做法，例如S_△APQ面積的多種求法、△PMH∽△PTQ等都可以列出方程式，根據(jù)定義域可以知道最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與各種圖形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，在平常的練習(xí)中多加注意．每道題都有不同的做法，根據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn)可以有很多種思路，嘗試著多種方法做題可以很好的鞏固所學(xué)知識(shí)．