【題目】如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D是BC邊上一點,將點D繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點E,連接CE.
(1)當點E在BC邊上時,畫出圖形并求出∠BAD的度數(shù);
(2)當△CDE為等腰三角形時,求∠BAD的度數(shù);
(3)在點D的運動過程中,求CE的最小值.
(參考數(shù)值:sin75°=, cos75°=,tan75°=)
【答案】(1)∠BAD=15°;(2)∠BAC=45°或∠BAD =60°;(3)CE=.
【解析】
(1)如圖1中,當點E在BC上時.只要證明△BAD≌△CAE,即可推出∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°;
(2)分兩種情形求解①如圖2中,當BD=DC時,易知AD=CD=DE,此時△DEC是等腰三角形.②如圖3中,當CD=CE時,△DEC是等腰三角形;
(3)如圖4中,當E在BC上時,E記為E′,D記為D′,連接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N⊥AC于N,DE交AE′于O.首先確定點E的運動軌跡是直線EE′(過點E與BC成60°角的直線上),可得EC的最小值即為線段CM的長(垂線段最短).
解:(1)如圖1中,當點E在BC上時.
∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等邊三角形,
∴∠ADE=∠AED=60°,
∴∠ADB=∠AEC=120°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=45°,
在△ABD和△ACE中,
∠B=∠C,∠ADB=∠AEC,AB=AC,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°.
(2)①如圖2中,當BD=DC時,易知AD=CD=DE,此時△DEC是等腰三角形,∠BAD=∠BAC=45°.
②如圖3中,當CD=CE時,△DEC是等腰三角形.
∵AD=AE,
∴AC垂直平分線段DE,
∴∠ACD=∠ACE=45°,
∴∠DCE=90°,
∴∠EDC=∠CED=45°,
∵∠B=45°,
∴∠EDC=∠B,
∴DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE=60°.
(3)如圖4中,當E在BC上時,E記為E′,D記為D′,連接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N⊥AC于N,DE交AE′于O.
∵∠AOE=∠DOE′,∠AE′D=∠AEO,
∴△AOE∽△DOE′,
∴AO:OD=EO:OE',
∴AO:EO=OD:OE',
∵∠AOD=∠EOE′,
∴△AOD∽△EOE′,
∴∠EE′O=∠ADO=60°,
∴點E的運動軌跡是直線EE′(過點E與BC成60°角的直線上),
∴EC的最小值即為線段CM的長(垂線段最短),
設E′N=CN=a,則AN=4-a,
在Rt△ANE′中,tan75°=AN:NE',
∴2+=,
∴a=2-,
∴CE′=CN=2-.
在Rt△CE′M中,CM=CE′cos30°=,
∴CE的最小值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著某市養(yǎng)老機構(養(yǎng)老機構指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等)建設穩(wěn)步推進,擁有的養(yǎng)老床位不斷增加.
(1)該市的養(yǎng)老床位數(shù)從年底的萬個增長到年底的萬個,求該市這兩年(從年底到年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率;
(2)若該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心,其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共間,這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間(個養(yǎng)老床位),雙人間(個養(yǎng)老床位),三人間(個養(yǎng)老床位),因?qū)嶋H需要,單人間房間數(shù)在至之間(包括和),且雙人間的房間數(shù)是單人間的倍,設規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為.
①若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位個,求的值;
②直接寫出:該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位 個;最少提供養(yǎng)老床位 個.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A(0,4),B(2,0),C(-2,0)三點.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)在x軸上有一點D(-4,0),將二次函數(shù)的圖象沿射線DA方向平移,使圖象再次經(jīng)過點B.
①求平移后圖象頂點E的坐標;
②直接寫出此二次函數(shù)的圖象在A,B兩點之間(含A,B兩點)的曲線部分在平移過程中所掃過的面積.
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【題目】下面是由些棱長的正方體小木塊搭建成的幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖,①請你觀察它是由多少塊小木塊組成的;②在俯視圖中標出相應位置立方體的個數(shù);③求出該幾何體的表面積(包含底面).
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【題目】佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情況,根據(jù)以往的學習經(jīng)驗,他想到了方程與函數(shù)的關系,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b(k≠0)的解,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解,如:二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸的交點為(﹣1,0)和(3,0),交點的橫坐標﹣1和3即為x2﹣2x﹣3=0的解.
根據(jù)以上方程與函數(shù)的關系,如果我們直到函數(shù)y=x3+2x2﹣x﹣2的圖象與x軸交點的橫坐標,即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解.
佳佳為了解函數(shù)y=x3+2x2﹣x﹣2的圖象,通過描點法畫出函數(shù)的圖象.
x | … | ﹣3 | ﹣ | ﹣2 | ﹣ | ﹣1 | ﹣ | 0 | 1 | 2 | … | ||
y | … | ﹣8 | ﹣ | 0 | m | ﹣ | ﹣2 | ﹣ | 0 | 12 | … |
(1)直接寫出m的值,并畫出函數(shù)圖象;
(2)根據(jù)表格和圖象可知,方程的解有 個,分別為 ;
(3)借助函數(shù)的圖象,直接寫出不等式x3+2x2>x+2的解集.
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【題目】如圖,一棟居民樓AB的高為16米,遠處有一棟商務樓CD,小明在居民樓的樓底A處測得商務樓頂D處的仰角為,又在商務樓的樓頂D處測得居民樓的樓頂B處的俯角為.其中A、C兩點分別位于B、D兩點的正下方,且A、C兩點在同一水平線上,求商務樓CD的高度.
(參考數(shù)據(jù): , .結果精確到0.1米)
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【題目】一個200人到300人之間的旅行團隊準備外出旅游,旅行團隊向某汽車運輸公司租用可以乘坐30人、乘坐45人的兩種客車若干輛,其中大型客車輛數(shù)要多于中型客車輛數(shù).按照預定的租車方案,如果大型客車都坐滿,中型客車有一輛就會空出少于一半的座位.但是汽車運輸公司發(fā)過來的車輛,車型與對應的輛數(shù)剛好搞反了,這樣就有5個人沒有座位可坐.這個旅游團一共有______個人.
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【題目】如圖,有小島A和小島B,輪船以45km/h的速度由C向B航行,在C處測得A的方位角為北偏東60°,測得B的方位角為南偏東45°,輪船航行2小時后到達小島B處,在B處測得小島A在小島B的正北方向.求小島A與小島B之間的距離(結果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈2.45)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD是角平分線,以點D為圓心,DA為半徑的⊙D與AC相交于點E
(1)求證:BC是⊙D的切線;
(2)若AB=5,BC=13,求CE的長.
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