Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．

（1）求線段AB的長；

（2）求直線CE的解析式；

（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）存在，P（－3，10）或P（3，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據非負數的性質，可求得OA和OB的長，然后根據勾股定理求得AB的長；

（2）證明△ACD∽△AOB，得到OC=CD，再根據△ACD∽△AOB，利用相似三角形的對應邊的比相等求得OC的長，從而求得C的坐標，再由CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；

（3）M是過A且垂直于AB的直線于BC的交點，首先求得M的坐標，然后分成四邊形ABPM是矩形和APBM是矩形兩種情況進行討論．

試題解析：（1）∵，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB===10；

（2）在△OBC和△DBC中，∵∠OBC=∠DBC，BC=BC，∠BOC=∠BDC，∴△OBC≌△DBC，∴OC=CD，設OC=x，則AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴，即，解得：x=3．即OC=3，則C的坐標是（﹣3，0）．設AB的解析式是，根據題意得：，解得：，則直線AB的解析式是，

設CD的解析式是，則，則，則直線CE的解析式是；

（3）設直線BC的解析式是，則：，解得：，則直線BC的解析式是；

設經過A且與AB垂直的直線的解析式是，則，解得：，

則過A且與AB垂直的直線的解析式是．

根據題意得：，解得：，則M的坐標是（，）．

①當四邊形ABPM是矩形時，線段AP的中點與線段BM的中點重合，設P（x，y），∵A（－8，0），B（0，6），M（，），則由中點坐標公式有：，，解得x=3，y=2，∴P（3，2）；

②當APBM是矩形時，線段AB的中點與線段PM的中點重合設P（x，y），∵A（－8，0），B（0，6），M（，），則由中點坐標公式有：，，解得x=－3，y=10，∴P（－3，10）．

綜上所述，存在P（3，2）或P（－3，10）滿足條件．