Question

（2013•呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（0，12）或（0，-12）

．

Answer 1

分析：如解答圖所示，構(gòu)造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C．
注意點(diǎn)C有兩個(gè)．

解答：解：設(shè)線段BA的中點(diǎn)為E，
∵點(diǎn)A（4，0）、B（-6，0），∴AB=10，E（-1，0）．
（1）如答圖1所示，過點(diǎn)E在第二象限作EP⊥BA，且EP=

1

2

AB=5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5

2

；
以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∵∠BCA為⊙P的圓周角，
∴∠BCA=

1

2

∠BPA=45°，即則點(diǎn)C即為所求．
過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5

2

，由勾股定理得：CF=

PC2-PF2

=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）；
（2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-12）．
綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）或（0，-12）．
故答案為：（0，12）或（0，-12）．

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大．由45°的圓周角聯(lián)想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點(diǎn)所在．