Question

已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A(1，0)，C(0，-3).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A），

①如圖1，當(dāng)△PBC的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖2，當(dāng)∠PCB =∠BCA時(shí)，求直線CP的解析式．

圖1                          圖2

Answer 1

解：（1）由題意，得，解得

∴拋物線的解析式為.

（2）①令，解得  ∴B（3， 0）

則直線BC的解析式為  當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，

過點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，∴設(shè)直線AP的解析式為，

∵直線AP過點(diǎn)A（1，0），∴直線AP的解析式為，交y軸于點(diǎn).

解方程組，得    ∴點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖1，

根據(jù)點(diǎn)，可知需把直線BC向下平移2個(gè)單位，此時(shí)交拋物線于點(diǎn)，

得直線的解析式為，

解方程組，得

∴

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

，

②過點(diǎn)B作AB的垂線，交CP于點(diǎn)F.如圖2，∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°  ∴∠CBF=∠ABC=45°

又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC      ∴△ACB≌△FCB

∴BF=BA=2，則點(diǎn)F（3，－2）又∵CP過點(diǎn)F，點(diǎn)C  ∴直線CP的解析式為.