Question

【題目】問(wèn)題呈現(xiàn)：

如圖 1，在邊長(zhǎng)為 1 小的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn) A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于點(diǎn) P，求 tan ∠CPB 的值方法歸納：求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個(gè)直角三角形，觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中∠ CPB不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫(huà)平行線等方法解決此類問(wèn)題，比如連接格點(diǎn) B、 E，可得 BE∥CD，則∠ABE=∠CPB，連接AE，那么∠CPB 就變換到 Rt△ABE 中．問(wèn)題解決：

（1）直接寫(xiě)出圖 1 中 tan CPB 的值為______；

（2）如圖 2，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形網(wǎng)格中，AB 與 CD 相交于點(diǎn) P，求 cos CPB 的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的判定及平行線的性質(zhì)得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，證明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan CPB= tan ABE；

（2）如圖2中，取格點(diǎn)D，連接CD，DM．通過(guò)平行四邊形及平行線的性質(zhì)得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理證明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD．

解：（1）連接格點(diǎn) B、 E，

∵BC∥DE，BC=DE，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∴DC∥BE，

∴∠CPB=∠ABE，

∵AE=，BE=，AB=

，

∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，

∴tan∠CPB= tan∠ABE=，

故答案為：2；

（2）如圖2所示，取格點(diǎn)M，連接CM，DM，

∵CB∥AM，CB=AM，

∴四邊形ABCM是平行四邊形，

∴CM∥AB，

∴∠CPB=∠MCD，

∵CM=，CD=，MD=，

，

∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，

∴cos∠CPB=cos∠MCD=．