Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑OB在x軸正半軸上，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PO，與⊙O交于點(diǎn)A，PC、PD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C、點(diǎn)D，AO＝OB=2，∠POB＝120°，點(diǎn)M 坐標(biāo)為(1，－）．

(1)求證：OP⊥CD；

(2)連結(jié)OM，求∠AOM的大小；

(3) 如果點(diǎn)E在x軸上，且△ABE與△AOM相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)150°;(3) E(4，0)或(8，0).

【解析】

（1）根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)證明Rt△PDO ≌Rt△PCO，就可以證明OP⊥CD（2）連接OM，利用三角函數(shù)值解直角三角形即可（3）根據(jù)△ABE與△AOM相似，可以得到邊，角的關(guān)系，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）連接OD、OC

∵PC、PD是⊙O的切線

∴∠PDO＝∠PCO＝90° ，PC＝PD

∵在Rt△PDO 與Rt△PCO中

∴Rt△PDO ≌Rt△PCO（HL）

∴∠CPO＝∠DPO

∵PC＝PD，∠CPO＝∠DPO

∴OP⊥CD

（2）連接OM，作MH⊥x軸

∵在Rt△HMO中 ∴tan∠HOM＝＝ ∴ ∠HOM＝30°

∴ ∠AOM＝∠HOM＋∠POB＝30°＋120°＝150°

（3）由OA＝OB＝2，∠AOB=120°，得∠ABO=30°

若點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，不論∠AEB和∠EAB哪個(gè)

角等于150°，此時(shí)三角形內(nèi)角和都大于180°

則點(diǎn)E只能在點(diǎn)B右側(cè)

∵∠ABO＝30°∴∠ABE＝∠AOM＝150°

若△ABE與△AOM相似存在兩種情況

①△AOM ∽△ABE ∴=

∴ BE＝2

∴E(4，0)

②△AOM ∽△EBA ∴=

∴ BE＝6

∴E(8，0)

綜上所述：E(4，0)或(8，0).