如圖,將長方形OABC放在直角坐標系中,O為坐標原點,點A在y軸正半軸上,點E是邊AB上的一個動點(不與點A、B重合),過點E的反比例函數(shù)y=
kx
(x>0)的圖象與邊BC交于點F.
(1)若△OAE、△OCF的面積分別記為S1、S2,且S1+S2=2,求k的值;
(2)若長方形OABC的邊長OA=2,OC=4.
①求k的取值范圍;
②設(shè)四邊形OAEF的面積為S,求證:S≤5.
分析:(1)點E、F反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0)圖象上的點,S△OAE=S△OCF=
k
2
,再由S1+S2=2即可求出k的值;
(2)①E是邊AB上的一個動點(不與點A、B重合),根據(jù)OA=2,OC=4可直接得k的取值范圍;
②設(shè)E(
k
2
,2),F(xiàn)(4,
k
4
),可得BE=4-
k
2
,BF=2-
k
4
,然后表示出△BEF、△OFC、矩形OABC的面積,然后根據(jù)S四邊形AOFE=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF表示出面積,再求出最大值即可證出結(jié)論.
解答:解:(1)∵點E、F反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0)圖象上的點,
∴S△OAE=S△OCF=
k
2
,
∴S1+S2=
k
2
+
k
2
=2,
解得,k=2;

(2)①∵點E是邊AB上的一個動點(不與點A、B重合),OA=2,OC=4
∴0<k<8;

②∵四邊形OABC為矩形,OA=2,OC=4,
∴設(shè)E(
k
2
,2),F(xiàn)(4,
k
4
),
∴BE=4-
k
2
,BF=2-
k
4

∴S△BEF=
1
2
(4-
k
2
)(2-
k
4
)=
1
16
k2-k+4,
∵S△OAE=S△OCF=
1
2
×4×
k
4
=
k
2
,S矩形OABC=2×4=8,
∴S=S四邊形AOFE=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8-(
1
16
k2-k+4)-
k
2
=-
1
16
k2+
1
2
k+4,
=-
1
16
(k-4)2+5
∴當k=4時,四邊形AOFE的面積最大,
∴S≤5;
點評:此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合運用以及反比例函數(shù)y=
k
x
(x>0)k的幾何含義和點在雙曲線上,點的橫縱坐標滿足反比例的解析式以及二次的頂點式及其最值問題,利用數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)最值是解題關(guān)鍵.
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90°
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如圖,將長方形OABC放在直角坐標系中,O為坐標原點,點A在y軸正半軸上,點E是邊AB上的一個動點(不與點A、B重合),過點E的反比例函數(shù)數(shù)學公式(x>0)的圖象與邊BC交于點F.
(1)若△OAE、△OCF的面積分別記為S1、S2,且S1+S2=2,求k的值;
(2)若長方形OABC的邊長OA=2,OC=4.
①求k的取值范圍;
②設(shè)四邊形OAEF的面積為S,求證:S≤5.

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