【題目】如圖,∠AOB=120°,射線OC從OA開始,繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘20°;射線OD從OB開始,繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘5°,OC和OD同時旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(0≤t≤15).
(1)當(dāng)t為何值時,射線OC與OD重合;
(2)當(dāng)t為何值時,∠COD=90°;
(3)試探索:在射線OC與OD旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在某個時刻,使得射線OC,OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線?若存在,請求出所有滿足題意的t的取值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)t=8min時,射線OC與OD重合;
(2)當(dāng)t=2min或t=14min時,射線OC⊥OD;
(3)存在,詳見解析.
【解析】
(1)當(dāng)OC與OD重合時,根據(jù)角度關(guān)系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD,利用題中射線的旋轉(zhuǎn)速度,由角度=時間×旋轉(zhuǎn)速度,列出方程,求解即可得到射線OC與OD重合時的時間t;
(2)當(dāng)∠COD=90°時,可分為兩種情況,當(dāng)OC位于OD的右邊時:∠BOD+120°=∠AOC+90°;當(dāng)OC位于OD左邊時:∠AOC-90°-120°=∠BOD,列出對應(yīng)的方程,求解即可;
(3)分三種情況來考慮,當(dāng)OB為角平分線時:120°-∠AOC=∠BOD;當(dāng)OC為角平分線時:∠AOC-120°=∠BOD;當(dāng)OD為角平分線時:∠AOC-120°=2∠BOD,列方程求解即可.
解:(1)由題意得,20t=5t+120°,解得t=8,
即當(dāng)t=8分鐘時,射線OC與OD重合;
(2)當(dāng)OC位于OD的右邊時:∠BOD+120°=∠AOC+90°,則可得5t+120°=20t+90°,解得t=2分鐘;
當(dāng)OC位于OD左邊時:∠AOC-90°-120°=∠BOD,則可得20t-90°-120°=5t,解得t=14分鐘;
故當(dāng)t=2或14分鐘時,∠COD=90°;
(3)存在.
當(dāng)OB為角平分線時:120°-∠AOC=∠BOD,則可得120°-20t=5t,解得t=4.8分鐘;
當(dāng)OC為角平分線時:∠AOC-120°=∠BOD,則可得20t-120°=×5t,解得t=分鐘;
當(dāng)OD為角平分線時:∠AOC-120°=2∠BOD,則可得20t -120°=2×5t,解得t=12分鐘.
故當(dāng)t=4.8或或12分鐘時,射線OC,OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線.
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【題目】先化簡,再求值,
(1)2x2y﹣[3xy2+2(xy2+2x2y)],其中x=,y=﹣2.
(2)已知a+b=4,ab=﹣2,求代數(shù)式(4a﹣3b﹣2ab)﹣(a﹣6b﹣ab)的值.
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【題目】某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)地在東西方向運(yùn)營,向東走為正,向西走為負(fù),行車?yán)锍蹋▎挝唬憨N)依先后次序記錄如下:+9,-3,-5,+4,-8,+6,-3,-6,-4,+10.
⑴將最后一名乘客送到目的地,出租車離鼓樓出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)?在鼓樓的什么方向?
⑵若每千米的價格為2.4元,司機(jī)一個下午的營業(yè)額是多少?
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【題目】如圖,P為正方形ABCD的對角線BD上任一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥CD于點(diǎn)F,連接EF.給出以下4個結(jié)論:①△FPD是等腰直角三角形;②AP=EF;
③AD=PD;④∠PFE=∠BAP.其中,所有正確的結(jié)論是( 。
A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(﹣2,3)、B(﹣3,1)、C(﹣1,2),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′C′,點(diǎn)B′、C′分別是點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn).
(1)求過點(diǎn)B′的反比例函數(shù)解析式;
(2)求線段CC′的長.
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【題目】在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球,為了用估計袋中紅球的數(shù)量,八(9)班學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室分組做摸球?qū)嶒?yàn):每組先將10個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中,攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球并記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復(fù).下表是這次活動統(tǒng)計匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計表:
(1)按表格數(shù)據(jù)格式,表中的a= ;b= ;
(2)請估計:當(dāng)次數(shù)s很大時,摸到白球的頻率將會接近 ;
(3)請推算:摸到紅球的概率是 (精確到0.1);
(4)試估算:口袋中紅球有多少只?
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【題目】早晨,小明步行到離家900米的學(xué)校去上學(xué),到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)眼鏡忘在家中,于是他立即按原路步行回家,拿到眼鏡后立即按原路騎自行車返回學(xué)校.已知小明步行從學(xué)校到家所用的時間比他騎自行車從家到學(xué)校所用的時間多10分鐘,小明騎自行車速度是步行速度的3倍.
(1)求小明步行速度(單位:米/分)是多少;
(2)下午放學(xué)后,小明騎自行車回到家,然后步行去圖書館,如果小明騎自行車和步行的速度不變,小明步行從家到圖書館的時間不超過騎自行車從學(xué)校到家時間的2倍,那么小明家與圖書館之間的路程最多是多少米?
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【題目】若直線y=kx+b的大致圖象如圖所示,則不等式kx+b 3的解集是( )
A.x >0
B. x <2
C.x ≥0
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