Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為P，直線CP與過點(diǎn)B且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D，且CP：PD=2：3
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若tan∠PDB= ，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵y=ax2﹣2ax+c，

∴該二次函數(shù)的對稱軸為：x=1，

∴OE=1

∵OC∥BD，

∴CP：PD=OE：EB，

∴OE：EB=2：3，

∴EB= ，

∴OB=OE+EB= ，

∴B（ ，0）

∵A與B關(guān)于直線x=1對稱，

∴A（﹣ ，0）；

（2）解：過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，交PE于點(diǎn)G，

令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，

∴y=c﹣a，

令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，

∴y=c

∴PG=a，

∵CF=OB= ，

∴tan∠PDB= ，

∴FD=2，

∵PG∥BD

∴△CPG∽△CDF，

∴ = =

∴PG= ，

∴a= ，

∴y= x2﹣ x+c，

把A（﹣ ，0）代入y= x2﹣ x+c，

∴解得：c=﹣1，

∴該二次函數(shù)解析式為：y= x2﹣ x﹣1．

【解析】（1）由二次函數(shù)的解析式可求出對稱軸為x=1，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，所以O(shè)E：EB=CP：PD；（2）過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，交PE于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形CDF，利用tan∠PDB= 即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的長度，進(jìn)而求出a的值，最后將A（或B）的坐標(biāo)代入解析式即可求出c的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的理解，了解一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．