Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值；
（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形？若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題的關(guān)鍵是求梯形的高，可通過(guò)梯形兩底的差和腰的長(zhǎng)求出梯形的高，然后根據(jù)梯形的面積公式即可得出梯形ABCD的面積．
（2）可用二次函數(shù)來(lái)求解．可設(shè)四邊形MEFN（其實(shí)是矩形）的面積為y，AE=BF=x，那么可根據(jù)AB的長(zhǎng)表示出EF，然后根據(jù)相似三角形△AEM和△AGD得出的關(guān)于EM、GD、AE、AG的比例關(guān)系式用x表示出ME （也可用∠A的正切函數(shù)來(lái)求），然后根據(jù)矩形的面積公式即可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出y的最大值也就是矩形MEFN的最大面積．
（3）若四邊形MEFN為正方形，那么ME=EF，可據(jù)此確定x的值，然后將x的值代入（2）的函數(shù)式中即可求出正方形MEFN的面積．

解答：解：（1）分別過(guò)D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL）．
∴AG=BH=

AB-GH

2

=

7-1

2

=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∴S_梯形ABCD=

(1+7)×4

2

=16．

（2）∵M(jìn)N∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ME=NF，ME∥NF．
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵M(jìn)E=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF．
設(shè)AE=x，則EF=7-2x．
∵∠A=∠A（公共角），∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA．
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x．
∴S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
當(dāng)x=

7

4

時(shí)，ME=

7

3

＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為

49

6

．

（3）能．
由（2）可知，設(shè)AE=x，則EF=7-2x，ME=

4

3

x．
若四邊形MEFN為正方形，則ME=EF．
即

4x

3

=7-2x．
解得x=

21

10

．
∴EF=7-2x=7-2×

21

10

=

14

5

＜4．
∴四邊形MEFN能為正方形，其面積為S_{正方形MEFN}=（

14

5

）²=

196

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．