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如圖，等腰Rt△ABC中，CA=CB=8
2
，點P是AB上一動點，設AP=x，操作：在射線AB上截取精英家教網PQ=AP，以PQ為一邊向上作正方形PQMN，設正方形PQMN與Rt△ABC重疊部分的面積為S．
（1）求S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）此題要分情況討論：當0＜x≤
16
3
時，重疊部分的面積即為正方形的面積；當
16
3
＜x＜8時，則重疊部分的面積即為正方形的面積減去等腰直角三角形的面積；當8≤x＜16時，重疊部分的面積即為等腰直角三角形的面積；
（2）分別求得每一種情況的面積最大值，再進一步比較，取其中的面積最大值即可．
解答：精英家教網解：（1）如圖，當0＜x≤
16
3
時，則S=x2；
當
16
3
＜x＜8時，則S=x2-
1
2
（x-16+2x）2=-
7
2
x2+48x-128；
當8≤x＜16時，則S=
1
2
(16-x)2=
1
2
x2-16x+128．

（2）當0＜x≤
16
3
時，則S=x2，則當x=
16
3
時，最大值S=
256
9
；
當
16
3
＜x＜8時，則S=x2-
1
2
（x-16+2x）2=-
7
2
x2+48x-128，則當x=
48
7
時，最大值S=
256
7
；
當8≤x＜16時，則S=
1
2
(16-x)2=
1
2
x2-16x+128，當x=8時，最大值S=32．
綜上所述，當x=
48
7
時，最大值S=
256
7
．
點評：此題關鍵是能夠正確分析出重疊的不同情況，能夠根據建立的二次函數關系式，分析得到其最大值．
練習冊系列答案
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．

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．

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（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求tan∠CDE的值．

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