Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y=x2+c的圖象拋物線交x軸于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）若點D是第四象限內(nèi)拋物線上一點，△ADC的面積為，求點D的坐標(biāo)；

（3）若將△OBC繞平面內(nèi)某一點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△O′B′C′，點O′，B′均落在此拋物線上，求此時O′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=60°；（2）D （，）．（3）O′（﹣，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）通過求函數(shù)解析式，求出相應(yīng)線段的長度，觀察AC=2OA，進而求出∠ABC度數(shù)；

（2）通過觀察三角形ADC面積與三角形AOC面積相等，可以判斷直線OD∥AC，求出直線與拋物線交點即為點D；

（3）利用拋物線解析式設(shè)出O′，通過旋轉(zhuǎn)60°，求出點B′的坐標(biāo)，將點B′代入拋物線解析式即可求出．

解：（1）由題意與y軸交于點C（0，﹣3），

∴得解析式為y=x2﹣3，

令y=0，x=±，

∴B（，0），A（﹣，0），

∴OA=，OC=3，AC=2，

∴∠OCA=30°，

∴∠ABC=60°；

（2）由（1）得：OA=，OC=3，

∴S△OAC=×3×=，

過原點與AC平行的直線y=﹣，

直線與拋物線的交點即為點D，

聯(lián)立：，

解得x1=，x2=（舍去），

∴D （，）．

（3）設(shè)點O′（m，m2﹣3），

∵順時針旋轉(zhuǎn)60°，

則點B′（m+，m2﹣），

∴（m+）﹣3=m2﹣，

∴m=﹣，

∴O′（﹣，﹣）．