Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=2；BC=．

【解析】試題分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．

（2）已知兩邊長，求其它邊的長，可以證明三角形相似，由相似三角形對應邊成比例來求．

試題解析：解：（1）連接OC．∵AE⊥DC，∴∠E=90°．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠BAC．

又∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E=90°，∴DC是⊙O的切線．

（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，∴△DCO∽△DEA，∴ ，∴，∴，∴BD=2．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠E=∠ACB=90°．∵∠EAC=∠BAC，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，∴，∴，∴AC2=．由勾股定理得：BC===．