Question

【題目】如圖，已知△ABC，且∠ACB＝90°．

（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）：

①以點(diǎn)A為圓心，BC邊的長(zhǎng)為半徑作⊙A；

②以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，在AB邊的下方作∠ABD＝∠BAC．

（2）請(qǐng)判斷直線BD與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）直線BD與⊙A相切，理由詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①以點(diǎn)A為圓心，以BC的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓即可；

②以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與邊AB、AC相交于兩點(diǎn)E、F，再以點(diǎn)B為圓心，以同等長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，與AB相交于一點(diǎn)M，再以點(diǎn)M為圓心，以EF長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，與前弧相交于點(diǎn)N，作射線BN即可得到∠ABD；

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AC∥BD，再根據(jù)平行線間的距離相等可得點(diǎn)A到BD的距離等于BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷直線BD與⊙A相切．

解：（1）如圖所示；

（2）直線BD與⊙A相切．

∵∠ABD＝∠BAC，

∴AC∥BD，

∵∠ACB＝90°，⊙A的半徑等于BC，

∴點(diǎn)A到直線BD的距離等于BC，

∴直線BD與⊙A相切．